Calculando

Question

Tengo problemas para calcular la siguiente integral incorrecta:$$\displaystyle \int\limits_0^{\infty} \frac{\log^2(1 - e^{-x})x^5}{e^x - 1} \, dx $ $

¿Alguien puede darme una forma en que pueda calcular esto?

Answer 1

Consejo. Aquí es un enfoque con la función beta de Euler.

Por el cambio de variable, $u=e^{-x}$, obtendrá $$\begin{align} \int_0^{\infty} \frac{\log^2(1 - e^{-x})x^5}{e^x - 1} \, dx&=-\int_0^1\frac{\log^2(1-u)\log^5u}{1-u}\:du\\ &=-\left.\partial_b^2\partiala^5\left(\int{0}^{1} {u}^{a-1}(1-u)^{b-1}du\right)\right|_{a=1,b=0}\\ &=-\left.\partial_b^2\partiala^5\left(\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\right)\right|{a=1,b=0}\\ &=\frac{4}{3} \pi ^4 \zeta(3)+20 \pi ^2 \zeta(5)-360 \zeta (7). \end {Alinee el} $$

Answer 2

Dadas $$I = \displaystyle \int\limits0^{\infty} \frac{\log^2(1 - e^{-x})x^5}{e^x - 1} \, dx $ $ entonces que $t = e^{-x}$ para obtener\begin{align} I &= - \int{1}^{0} ( - \ln t)^{5} \, \ln^{2}(1-t) \, \frac{dt}{1-t} \ &= - \int{0}^{1} \frac{\ln^{5}t \, \ln^{2}(1-t)}{1-t} \, dt \ &= \int{0}^{1} \ln^{5}t \, \left( \frac{1}{3} \, \frac{d}{dt} \ln^{3}(1-t)\right) \, dt \ &= \left[ \frac{1}{3} \ln^{5}t \, \ln^{3}(1-t) \right]{0}^{1} - \frac{5}{3} \, \int{0}^{1} \frac{\ln^{3}(1-t) \, \ln^{4}t}{t} \, dt \ &= - \frac{5}{3} \, \int_{0}^{1} \frac{\ln^{3}(1-t) \, \ln^{4}t}{t} \, dt \end {Alinee el}

Desde aquí consideramos la función Beta en la forma\begin{align} B(x,y) = \int{0}^{1} t^{x-1} \, (1-t)^{y-1} \, dt \end{align} para que\begin{align} I &= - \frac{5}{3} \, \partial{x}^{4} \partial{y}^{3} \, \left. B(x,y) \right|{x=0, y=1} \ &= 5! \, (\zeta(4) \, \zeta(3) + \zeta(2) \, \zeta(5) - 3 \, \zeta(7)) \end {alinee el}