He visto la prueba completa de la desigualdad del triángulo \begin {ecuación*} |x+y| \le | y \end {ecuación*} Sin embargo, no he visto la prueba de la desigualdad del triángulo inverso: \begin {ecuación*} ||. \le | y \end {ecuación*} ¿Podría probar esto usando sólo la desigualdad del triángulo de arriba?
Muchas gracias.
$$|x| + |y -x| \ge |x + y -x| = |y|$$
$$|y| + |x -y| \ge |y + x -y| = |x|$$
Mover $|x|$ a la derecha en la primera desigualdad y $|y|$ a la derecha en la segunda desigualdad. Obtenemos
$$|y -x| \ge |y| - |x|$$
$$|x -y| \ge |x| -|y|.$$
A partir de las propiedades del valor absoluto, sabemos que $|y-x| = |x-y|,$ y si $t \ge a$ y $t \ge −a$ entonces $t \ge |a|$ .
Combinando estos dos hechos, obtenemos la desigualdad del triángulo invertido:
$$|x-y| \ge \bigl||x|-|y|\bigr|.$$
Sí, estoy asumiendo números reales x,y. ¿Podría terminar la prueba y mostrar la desigualdad inversa? Muchas gracias.
Intenté terminarlo yo mismo, sin embargo lo único que se me ocurrió fue restar las dos desigualdades, lo que no me permitió llegar a la desigualdad final :\N --------------------------------------------------------------------------------.
¿Es obvio que la desigualdad en el medio se mantiene? Por ejemplo, no creo que sea generalmente cierto que si $a\leq b$ entonces $\left|a-|y|\right| \leq \left|b-|y|\right|$ .
Explícitamente, tenemos \begin {align} \bigl ||x|-|y| \bigr | =& \left\ { \begin {array}{ll} |x-y|=x-y,&x \geq {}y \geq0\\ |x-y|=-x+y=-(x-y),&y \geq {}x \geq0\\ |-x-y|=x+y \leq -x+y=-(x-y),&y \geq -x \geq0\\ |-x-y|=-x-y \leq -x+y=-(x-y),&-x \geq {}y \geq0\\ |-x+y|=-x+y=-(x-y),&-x \geq -y \geq0\\ |-x+y|=x-y,&-y \geq -x \geq0\\ |-x+y|=-x-y \leq {}x-y,&-y \geq {}x \geq0\\ |-x+y|=x+y \leq {}x-y,&x \geq -y \geq0 \end {array} \right\ } \nonumber\\ =&|x-y|. \nonumber \end {align}
Para todos $x,y\in \mathbb{R}$ la desigualdad del triángulo da \begin {ecuación} |x|=|x-y+y| \leq |x-y|+|y|, \end {Ecuación}
\begin {equation} |x|-|y| \leq |x-y| \tag {1}. \end {Ecuación} Interchaning $x\leftrightarrow y$ da \begin {equation} |y|-|x| \leq |y-x| \end {Ecuación} que al reordenarse da como resultado \begin {Ecuación} - \left (|x|-|y|) \right ) \leq |x-y|. \tag {2} \end {Ecuación} Ahora combinando $(2)$ con $(1)$ , da \begin {equation} -|x-y| \leq |x|-|y| \leq |x-y|. \end {Ecuación} Esto da el resultado deseado \begin {Ecuación} \left ||x|-|y| \right | \leq |x-y|. \blacksquare \end {Ecuación}
Dado que estamos discutiendo los reales, $\mathbb{R}$ entonces se aplican los axiomas de un campo. Es decir, para : $x,y,z\in\mathbb{R}, \quad x+(-x)=0$ ; $x+(y+z)=(x+y)+z$ y $x+y=y+x$ .
Comenzar con $x=x+0=x+(-y+y)=(x-y)+y$ .
A continuación, aplique $|x| = |(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|$ . Por la llamada "desigualdad del primer triángulo".
Reescribiendo $|x|-|y| \leq |x-y|$ y $||x|-y|| \leq |x-y|$ .
El elemento de análisis que a veces me resulta más desalentador desde el punto de vista conceptual es la noción de orden $(\leq,\geq,<,>)$ y cómo ciertas frases pueden ser aumentadas a formas más simples.
Espero que esto ayude y, por favor, dame tu opinión para que pueda mejorar mis habilidades.
Salud.
No se puede concluir inmediatamente que $||x|-|y|| \leqslant |x-y|$ de $|x|-|y| \leqslant |x-y|$ ya que a estas alturas no se conocen los signos. Tenga en cuenta que $-2 < 1$ no implica $|-2| < 1$ . Pero se puede arreglar cambiando las etiquetas de las variables y mostrando $|y| - |x| \leqslant |x-y|$ lo que implica $|x| -|y| \geqslant -|x-y|$ . Rellena los detalles y yo te subiré el voto.
@RRL ¿cuál es un ejemplo en el que la desigualdad fallaría si el valor absoluto exterior no estuviera presente en la desigualdad del triángulo invertido? ¿O es sólo una condición más poderosa por lo que es útil para mostrar que?
@jaja: No hay. $|x| = |x-y+y| \leqslant |x-y| + |y| \implies |x| - |y| \leqslant |x-y|$ y cambiar de nombre $|y| - |x| \leqslant |y -x| = |x- y| \implies |x| - |y| \geqslant -|x-y|$ . Así que también tenemos $||x|-|y|| \leqslant |x-y|$ . Mi punto era que sin más trabajo -como el que muestro aquí- no se puede concluir inmediatamente que algo < |algo más| implica |algo| < |algo más|.
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proofwiki.org/wiki/Igualdad_Triangular_Inversa
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He visto esta prueba, sin embargo es demasiado avanzada para mí ya que involucra espacios métricos - me gustaría una prueba simple usando la conocida y simple desigualdad del triángulo que escribí en la pregunta, gracias.
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Sólo hay que sustituir $d(x,y)$ con $|x-y|$ .
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esta desigualdad siempre me ha molestado, nunca ha sido una cosa intuitiva que se me ocurra y cada prueba parece un crujido de símbolos. ¿Cuáles son los conceptos principales de esta prueba?
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Si piensas en $x$ y $y$ como puntos en $\mathbb{C}$ En el lado izquierdo estás manteniendo la distancia de ambos vectores a 0, pero haciendo que ambos estén en el eje real positivo (tomando la norma) antes de encontrar la distancia, que por supuesto será menor que si sólo encuentras la distancia entre ellos tal y como están (cuando podrían estar opuestos en el plano complejo).
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¿Qué tal si elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad del triángulo invertido y terminamos con $|X||Y|\gt XY$ ? La misma salida que si cuadramos la desigualdad del triángulo.
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¿qué pasa si hay tres mandatos?