Prueba de desigualdad del triángulo inverso

Question

He visto la prueba completa de la desigualdad del triángulo \begin {ecuación*} |x+y| \le | y \end {ecuación*} Sin embargo, no he visto la prueba de la desigualdad del triángulo inverso: \begin {ecuación*} ||. \le | y \end {ecuación*} ¿Podría probar esto usando sólo la desigualdad del triángulo de arriba?

Muchas gracias.

Answer 1

$$|x| + |y -x| \ge |x + y -x| = |y|$$

$$|y| + |x -y| \ge |y + x -y| = |x|$$

Mover $|x|$ a la derecha en la primera desigualdad y $|y|$ a la derecha en la segunda desigualdad. Obtenemos

$$|y -x| \ge |y| - |x|$$

$$|x -y| \ge |x| -|y|.$$

A partir de las propiedades del valor absoluto, sabemos que $|y-x| = |x-y|,$ y si $t \ge a$ y $t \ge −a$ entonces $t \ge |a|$ .

Combinando estos dos hechos, obtenemos la desigualdad del triángulo invertido:

$$|x-y| \ge \bigl||x|-|y|\bigr|.$$

Answer 2

WLOG, considere $|x|\ge |y|$ . Por lo tanto: $$||x|-|y||=||x-y+y|-|y||\le ||x-y|+|y|-|y||=||x-y||=|x-y|.$$

Answer 3

Para todos $x,y\in \mathbb{R}$ la desigualdad del triángulo da \begin {ecuación} |x|=|x-y+y| \leq |x-y|+|y|, \end {Ecuación}

\begin {equation} |x|-|y| \leq |x-y| \tag {1}. \end {Ecuación} Interchaning $x\leftrightarrow y$ da \begin {equation} |y|-|x| \leq |y-x| \end {Ecuación} que al reordenarse da como resultado \begin {Ecuación} - \left (|x|-|y|) \right ) \leq |x-y|. \tag {2} \end {Ecuación} Ahora combinando $(2)$ con $(1)$ , da \begin {equation} -|x-y| \leq |x|-|y| \leq |x-y|. \end {Ecuación} Esto da el resultado deseado \begin {Ecuación} \left ||x|-|y| \right | \leq |x-y|. \blacksquare \end {Ecuación}

Answer 4

Explícitamente, tenemos \begin {align} \bigl ||x|-|y| \bigr | =& \left\ { \begin {array}{ll} |x-y|=x-y,&x \geq {}y \geq0\\ |x-y|=-x+y=-(x-y),&y \geq {}x \geq0\\ |-x-y|=x+y \leq -x+y=-(x-y),&y \geq -x \geq0\\ |-x-y|=-x-y \leq -x+y=-(x-y),&-x \geq {}y \geq0\\ |-x+y|=-x+y=-(x-y),&-x \geq -y \geq0\\ |-x+y|=x-y,&-y \geq -x \geq0\\ |-x+y|=-x-y \leq {}x-y,&-y \geq {}x \geq0\\ |-x+y|=x+y \leq {}x-y,&x \geq -y \geq0 \end {array} \right\ } \nonumber\\ =&|x-y|. \nonumber \end {align}

Answer 5

Dado que estamos discutiendo los reales, $\mathbb{R}$ entonces se aplican los axiomas de un campo. Es decir, para : $x,y,z\in\mathbb{R}, \quad x+(-x)=0$ ; $x+(y+z)=(x+y)+z$ y $x+y=y+x$ .

Comenzar con $x=x+0=x+(-y+y)=(x-y)+y$ .

A continuación, aplique $|x| = |(x-y)+y|\leq |x-y|+|y|$ . Por la llamada "desigualdad del primer triángulo".

Reescribiendo $|x|-|y| \leq |x-y|$ y $||x|-y|| \leq |x-y|$ .

El elemento de análisis que a veces me resulta más desalentador desde el punto de vista conceptual es la noción de orden $(\leq,\geq,<,>)$ y cómo ciertas frases pueden ser aumentadas a formas más simples.

Espero que esto ayude y, por favor, dame tu opinión para que pueda mejorar mis habilidades.

Salud.