¿Cómo es

Question

Cómo derivar:

$\ln(-1)=i\pi$ y

$\ln(-x)=\ln(x)+i\pi$ $x>0$ y $x \in\mathbb R$

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Ver aquí para obtener justificación: %#% $ $$e^{i\pi} = -1$ #% es razonable. Tenga en cuenta que $\ln(-1) := i\pi$ $\ln(-1) = i(2k+1)\pi$ es justo como razonable. Todo viene abajo a la rama de $k\in\mathbb Z$ cual es elegido.

Para la segunda parte aplicar $\ln$ donde $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ y $a = -1$.

Answer 2

Lo que usted dice no es correcto a menos que seleccione una rama. Por definición, $log{\theta}(-1):=ln|-1|+iarg{\theta} (-1)= 0+iarg{\theta}(-1)$ lo que necesitas $arg{\theta}(-1)= \pi$. Esto es cierto para un solo valor $\theta$ (de modo que la rama va desde $\theta$ $\theta + 2\pi^{-}$). Así que parece que debería hacerlo la rama con $ -\pi <arg>Editar lo que usted necesita en última instancia en el registro de rama es que la relación $$e^{logz}=z $$ , so that whatever argument $\theta$ you assign to z , you have $$ e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)= i\pi$$. It then follows that $sin\theta= \pi$, so that $\theta = $ sin^{-1}(\pi)

</arg>

Answer 3

Usando la identidad $e^{\pi i(1+2 k)} = -1$

Aplicar el ln() a ambos lados

$\pi i+2\pi k = \ln(-1)$