secuencia definida por $u_0=1/2$ y el % de relación de repetición $u_{n+1}=1-u_n^2$

Question

Quiero estudiar la secuencia definida por $u_0=1/2$ y la recurrencia de la relación $$u_{n+1}=1-u_n^2\qquad n\ge0.$$ I calculado suficiente términos para entender que esta sucesión no converge porque sus pares y los impares subsecuencias convergen a límites diferentes.

En particular, el $$\lim_{n\to\infty}a_{2n+1}=0\text{ and}\lim_{n\to\infty}a_{2n+2}=1.$$

Ahora también puedo demostrar que $u_n\leq1$ debido a la posterior términos están relacionados de esta manera $$f\colon x\mapsto1-x^2.$$

Con el fin de demostrar que las subsecuencias convergen tengo que demostrar que no están delimitadas (en orden de uso de Bolzano-Weierstrass) o que son acotada y monótona para $n>N$. Demostró que las subsecuencias convergen dos límites diferentes, voy a ser capaz de demostrar que nuestra $u_n$ diverge.

Me pueden ayudar? Tienes alguna otra idea para el estudio de esta secuencia?

Gracias.

Answer 1

Para ver las subsecuencias de pares e impares, es suficiente para "revelar" el paso de una recurrencia: $$u{n+2} = 1-u{n+1}^2 = 1 - (1 - u_n^2)^2 = 2u_n^2 - u_n^4.$$ Then consider the fixed points of this recurrence for $u \in [0,1] $ by solving $u = 2u ^ 2 - u ^ 4$. Por último, mira las desigualdades para los intervalos delimitadas por los puntos fijos. Esto le da una idea de donde el subsequence a disminuir o aumentar, y desde allí puede tratar de demostrar formalmente el comportamiento limitador de las subsecuencias.

Answer 2

La función de $f$ disminuye de $f(0)=1$ $f(1)=0$y cumple con la primera diagonal a $a=\frac12(\sqrt5-1)$ por lo tanto $f$ intercambios de los intervalos de $[0,a]$ $[a,1]$ $f\circ f$ está aumentando y las hojas de cada uno de ellos invariante. Además, $f\circ f(x)\lt x$ por cada $x$ $(0,a)$ $f\circ f(x)\gt x$ por cada $x$$(a,1)$.

Por lo tanto, cada secuencia definida por $x_0$ $[0,1]$ $x_{n+1}=f\circ f(x_n)$ por cada $n\geqslant0$, es constante si $x_0=0$ o $a$ o $1$, o la disminución de a $0$ si $x_0$$(0,a)$, o el aumento de a $1$ si $x_0$$(a,1)$.

En su caso, $u_0=\frac12$ $(0,a)$ por lo tanto $u_1$$(a,1)$. Por lo tanto, la aplicación de los anteriores a $x_0=u_0$ muestra que $(u_{2n})$ disminuye a $0$, y, aplicando lo anterior a $x_0=u_1$ muestra que $(u_{2n+1})$ aumenta a $1$.

Answer 3

La función $f:[0,1]\longrightarrow[0,1]$ tiene un único punto fijo pero es repulsivo. Y no podemos llegar a él en un número finito de pasos porque es irracional.