El grupo de unidades de un campo infinito no puede ser cíclico.

Question

Es bien sabido que el grupo de unidades de un campo finito es un grupo cíclico finito. Pero para campos infinitos, por ejemplo,$\mathbb{Q}$ o$\mathbb{R}$, los grupos de unidades no son cíclicos. Escuché este hecho en mi clase y estoy tratando de probarlo.

Suponiendo que el grupo de unidades es infinito cíclico con el generador$a$, intenté mostrar algún elemento,$\frac{1}{a+1}$ o$\frac{1}{a^2+1}$ no puede ser una potencia de$a$, pero no lo hace. Parece esperanzado. ¿Alguien podría ayudarme?

Answer 1

Tenga en cuenta que, de hecho, más es cierto: un subgrupo finito de el grupo multiplicativo de cualquier campo es cíclico.

Si el campo $K$ tiene de característica cero, contiene $\mathbf{Q}$ como un subcampo, y por lo tanto $K^*$ contiene $\mathbf{Q}^*$ como un subgrupo. Por lo tanto es suficiente para mostrar que $\mathbf{Q}^*$ no es cíclico (debido a un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico). Supongamos $a$ es un generador de $\mathbf{Q}^*$. A continuación, también se $a/2 \in \mathbf{Q}^*$, pero no de $a$ igual $a/2$ (considerar valores absolutos).

Si $K$ tiene características de las $p$ y es una extensión algebraica de $\mathbf{F}_p$, para cada elemento $a \in K$ puede considerar que el campo finito $\mathbf{F}_p(a)$ a ver que el subgrupo generado por a $a$ debe ser finito.

Por último, si $K$ es un trascendental, la extensión de la $\mathbf{F}_p$, se contiene $\mathbf{F}_p(t)$ como un subcampo, por lo $K^*$ contiene $\mathbf{F}_p(t)^*$ como un subgrupo, y de nuevo es suficiente para mostrar que $\mathbf{F}_p(t)^*$ no es cíclico. De nuevo, para cualquier supuesto generador de $a$, considere la posibilidad de $a/2$, pero esta vez se sostienen en su grado.