Suave pregunta: Las desigualdades como esta

Question

Estoy estudiando medidas firmadas y complejas, y en un punto en una prueba se está utilizando el siguiente lema:

Lemma Si$z_1,...,z_n$ son números complejos, entonces existe un subconjunto$S\subset\{1,2,...,n\}$ tal que$$\left|\sum_{k\in S}z_k \right| \geq \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n|z_k|.$ $

¿Esta igualdad tiene algún nombre, o existen desigualdades similares? ¿Se puede agudizar la constante que aparece ($1/\pi$)?

Answer 1

WLOG, normalizar, de modo que $\sum|z_k|=1$. Tomar el subconjunto $S_\theta$ de los $z_k$ que se encuentran en el semiplano $\{ z:\Re (ze^{-i\theta})>0\}$. Vamos a probar que para algunos $\theta$, $$\Sigma_\theta:=\left|\sum_{k\in S_\theta}z_k\right|\geq\Re\left( e^{-i\theta}\sum_{k\in S_k}z_k\right)=:\sigma(\theta)>1/\pi.$$ Tenemos $$\sigma(\theta)=\sum_{k}|z_k|\cos^+(\phi_k-\theta),$$ donde $\cos^+x=\max\{0,\cos x\}$, e $\phi_k=\arg z_k$, y la suma es sobre todos los $k$. Ahora note que $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sigma(\theta)d\theta=\frac{1}{2\pi}\sum_k|z_k|\int_0^{2\pi}\cos^+(t)dt=\frac{1}{\pi}.$$ Esto implica que $\sigma(\theta)\geq 1/\pi$ en algún momento. La igualdad sólo es posible cuando la $\sigma$ es constante, pero evidentemente no es constante. Por lo tanto, tenemos una desigualdad estricta. Es claro a partir de esta la prueba de que la estimación de $1/\pi$ es también la mejor posible, si $n$ no está restringido.

Fijo $n$ se puede hacer mejor.

No sé si esto tiene un nombre, pero este es un buen cálculo de problema, y también se muestra un sencillo y útil principio. (Me enteré de este problema en 1976 como una olimpiad problema).