Cómo probar la escalada hasta el infinito (+ o -) para algunos números de casos n/3 y 4n +1.

Question

Cómo pruebo que siguientes números 45, 61, 101 y -59 están subiendo hasta el infinito, pero -155 cae en un bucle.

f (n) = \begin{cases} n/3, & \text{if %#%#% %#%#% %#%#%} \ 4n+1, & \text{if %#%#% %#%#% %#%#%} \end{casos}

Ejemplo: 45-15-5-21 7-29-117-39 - 13-53-213-71 - 285-95-381-127 - 509-2037-679-2717 - 10869 - 3623 - 14493-4831 - 77301 - 25767 - etcetera.

Answer 1

Mientras que es seguro que será difícil de probar, tenga en cuenta que de forma heurística debemos esperar que este proceso diverge a infinito, que es diferente de la $3n+1$ problema (donde de forma heurística números convergen).

El estándar de la heurística para el $3n+1$ problema se basa en la noción de que un 'desconocido' número tiene la misma probabilidad de ser par o impar. Ingenuamente, esto parecería sugerir la divergencia, porque si lanzamos una moneda y, a continuación, aplicar cualquiera de las $n\mapsto 3n+1$ o $n\mapsto n/2$, el tamaño promedio del número crece: ignorando el aditivo factor, el número ha probabilidad de $\frac12$ de crecimiento por un factor o $3$ y la probabilidad de $\frac12$ de reducción por un factor de $\frac12$. Desde $3\cdot\frac12\gt 1$, esto parecería sugerir crecimiento en promedio.

Pero sabemos que todo número impar es llevado a un número par, así que una vez que hemos aplicado la $n\mapsto 3n+1$ regla, sabemos que vamos a aplicar a un paso de $n\mapsto n/2$; después de eso, el estado de la cifra resultante es de nuevo desconocido. Correctamente el modelo de este proceso de forma heurística, queremos asegurarnos de que vamos de desconocido a desconocido; esto sugiere que nuestro 'al azar' modelo debe voltear una moneda y, a continuación, elija la asignación de $n\mapsto n/2$ o $n\mapsto (3n+1)/2$, con igual probabilidad. Debido a $\frac32\cdot\frac12\lt1$, esto significa que los números en la Collatz proceso son, en realidad, 'promedio' en disminución.

Ahora, para su $4n+1$ problema, podemos tomar el mismo enfoque y seguir el proceso de desconocido a desconocido; aquí va a estar basado en el estado de $n$ mod $3$. si $n\equiv0\pmod 3$, después de aplicar el $n/3$ regla que tenemos que tener un número desconocido; si $n\equiv 1$, entonces nosotros sabemos que va a ser la aplicación de la $4n+1$ regla dos veces y, a continuación, el $n/3$ regla, por lo que la fórmula para llegar a la próxima 'desconocido' número en el proceso de es $n\mapsto\frac13(16n+5)$; y si $n\equiv 2$ a continuación, se aplica el $4n+1$ regla de una vez y, a continuación, el $n/3$ regla, por lo que la fórmula para llegar a la próxima 'desconocido' número es $n\mapsto\frac13(4n+1)$. Por lo tanto, a partir de un desconocido $n$, con una probabilidad de $\frac13$ multiplicamos por $\frac13$; con una probabilidad de $\frac13$ (aproximadamente) se multiplica por $\frac{16}3$; y con una probabilidad de $\frac13$ (aproximadamente) se multiplica por $\frac43$. Ya tenemos $\frac13\cdot\frac{16}3\cdot\frac43\gt 1$, es de esperar que 'la mayoría' de los números a divergir en virtud de este proceso.