Cómo evaluar $\lim_{n\to\infty} (n\sin(\pi/n))^n$ con L'Hospital de la regla?

Question

Heres cómo creo que se debe hacer, pero parece que estoy recibiendo la respuesta equivocada.

$$\frac{\sin(\pi/n)}{n^{-1}}$$

hace esto mediante la diferenciación.

$$\frac{\cos(\pi/n)\pi}{-n^{-2}} = \frac{\pi}{-1/n^2}$$

el límite de esta debe ser igual a pi/ pero la forma en que he trabajado lo que yo obtenga $\frac{n^2\pi}{-1}$. Esto arroja toda mi respuesta, pero no veo lo que estoy haciendo mal.

Answer 1

En primer lugar vamos a cambiar el siguiente: $x=\frac{1}{n}$, por lo que el límite de $n\to \infty$ es lo mismo que $x\to 0$ mientras $x>0$

Que el límite de $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin(\pi x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$$ Como la parte en el paréntesis converge a $\pi$ tomando el $n$-ésima potencia van a divergir sin duda.

Answer 2

mediante la diferenciación,

$$ \frac{\cos(\pi / n) \cdot \frac{-\pi}{n^2}} {\frac{-1}{n^2}} $$

Answer 3

$(n\sin(\dfrac{\pi}{n}))^n=(\dfrac{\sin{\pi x}}{x})^{\frac 1 x}$ si $x= \frac 1 n$ y si $n\to \infty$ ,$x\to 0^+$

$(\dfrac{\sin{\pi x}}{x})\to\pi$ . Por lo que el $\frac{1}{x}$th poder(con $x\to 0^+$) de este desviará a $+\infty$.