$0 \neq \frac{f}{g}\in K(X_1,\,\dots,\,X_n)$ escrito como $\prod_{i=1}^n X_i^{m_i} (\frac{h}{k}),\,m_i \geq 0,\,k(0,\,\dots,\,0),\,h(0,\dots,0)\neq 0$

Question

Deje $K$ ser un campo. De acuerdo a Grillet del Álgebra Abstracta (Segunda Edición) en la página 252,

Cada valor distinto de cero $\frac{f}{g} \in K(X_1,\,\dots,\,X_n)$ puede ser escrito de una manera única en la forma$\frac{f}{g} = X_1^{m_1} X_2^{m_2} \cdots X_n^{m_n}(h/k)$$m_1,\,\ldots,\,m_n \geq 0$$k(0,\,\dots,\,0),\,h(0,\,\dots,\,0)\neq 0$;

pero al parecer no entiende cómo es esto significaba. $k(0,\,\dots,\,0),\,h(0,\,\dots,\,0)\neq 0$ significa que la parte constante es distinto de cero, y que parece ser donde mi entendimiento extremos. Por ejemplo,$n=4$. Entonces, ¿cómo se supone que funciona para

$$ \frac{X_1 + X_2}{X_3 + X_4}\quad \text{?} $$

Debe ser muy simple, pero no entiendo el concepto justo ahora, o no puede leer correctamente por el momento.

Answer 1

La afirmación es incorrecta, ya que su ejemplo se muestra. La expresión correcta debería ser que ni $f$ ni $g$ es divisible por ninguna de las variables $X_1,\cdots,X_n$ (que, al $n=1$, equivale a no tener término constante, es decir,$f(0),g(0)\ne 0$, que es probablemente lo que el autor mezcla con $n>1$).