Pregunta en el título. Nunca he visto un cociente de $R$ por un ideal maximal $I$ que es un infinito campo, así que yo también estaría interesado en el caso de que $R/I$ es cualquier infinito campo. Si no existen ejemplos, también me gustaría escuchar sobre el caso donde $R$ es un polinomio anillo de más de $\Bbb{Z}$ en infinidad de variables.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La proposición
Si $I\subset R=\mathbb Z[X_1,\cdots X_n]$ es un ideal maximal, entonces el cociente $R/I$ es un campo finito.
Prueba
El anillo de $R$ es Jacobson : esto significa que cada uno de su primer ideales es la intersección de la máxima ideales que la contienen.
La canónica anillo de morfismos $f:\mathbb Z\to R$ es una de morfismos entre Jacobson anillos y por lo tanto tiene la maravillosa propiedad que el inverso de la imagen de un ideal maximal es máxima.
Esto implica, en nuestro caso, que $f^{-1}(I)\subset \mathbb Z$ es un ideal maximal, necesariamente de la forma $p\mathbb Z$ para algunos el primer entero $p$, por lo que el $\mathbb Z/f^{-1}(I)=\mathbb Z/p\mathbb Z=:\mathbb F_p$.
Pero, a continuación, la extensión del campo $\mathbb F_p \subset R/I$ es finitely generado como un álgebra sobre $\mathbb F_p$, y es por tanto una finito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb F_p$ por Zariski de la versión de la Nullstellensatz.
Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $R/I$ es un campo finito $\mathbb F_{p^n}$
Bibliografía
La mejor referencia sobre Jacobson anillos es la última sección del Capítulo 5 de Bourbaki del Álgebra Conmutativa.
Zariski del Teorema es la Proposición 7.9 en Atiyah-Macdonald.
Wikipedia tiene la mejilla para llamar Zariski del lexema :-)
Bernard
Puntos
34415
Usted no puede encontrar un ejemplo: un ideal maximal $\mathfrak m$ $\mathbf Z[x_1,\dots,x_n]$ tiene un valor distinto de cero intersección con $\mathbf Z$, lo que es un alojamiento ideal $p\mathbf Z$, por lo tanto el cociente $\mathbf Z[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak m$ es un finitely generado álgebra sobre el campo finito $\mathbf F_p$, que tiene características de las $p$.
El mismo argumento es válido para el polinomio de anillos con un número infinito de indeterminates.
