Calculando…

Question

Cómo calcular el %#% $ #%

Ser $$\int_0^\infty \frac{x^{3}}{e^{x}-1} \; dx$, entonces el $q:= e^{z}-1 , p:= z^{3}$ $e^{z} = 1 $, por lo que es el residuo 0: $z= 2\pi n i $ $

problema es que no es simétrica, entonces, ¿cómo se encuentra la integral definida?

Answer 1

En general, $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{x^n}{e^x-1}\mathrm{d}x &=\sum_{k=1}^\infty\int_0^\infty x^ne^{-kx}\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{n+1}}\int_0^\infty x^ne^{-x}\mathrm{d}x\\ &=\zeta(n+1)\Gamma(n+1) \end {Alinee el} $$ En el caso particular de $n=3$, obtenemos $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\mathrm{d}x &=\zeta(4)\Gamma(4)\\ &=\frac{\pi^4}{90}\cdot6\\ &=\frac{\pi^4}{15} \end {Alinee el} $$

Answer 2

Tuve problemas para ver esto hasta que encontré el siguiente enfoque--tarde y para lo que vale. Me gusta que muestra explícitamente la adición (y nos recuerda las expresiones de Gamma y Zeta).

$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ para x > 0. Hacer la sustitución de variables t = ru:

$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}(ru)^{x-1}e^{-ru}r\ du =r^x \int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-ru}du $

Para

$\frac{1}{r^x} = \frac{1}{\Gamma(x)}\int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{-ru}du$.

$\zeta(x) = \sum_{1}^{\infty}\frac{1}{r^x}= \frac{1}{\Gamma(x)}\sum_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty}u^{x-1}e^{ru}du$ = $\frac{1}{\Gamma(x)}\int_{0}^{\infty}u^{x-1}\sum_{1}^{\infty}e^{-ru}du$.

Por último,

$\zeta(x) = \frac{1}{\Gamma(x)}\int_{0}^{\infty}u^{x-1}\frac{ e^{-u}}{1-e^{-u}}du$ y así $\Gamma(x)\zeta(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du $