$p$norma de la desigualdad

Question

Deje $p \ge 2$ $q$ tal que$${1\over p} + {1\over q} = 1.$$Is it true that there exists a constant $c$ such that for all $x$, $s$ such that $\|x\|_q \le 1$ and $\|s\|_q \ge 1$$$\left\|x - {y\over{\|s\|_q}}\right\|_p \le c \cdot \|x - y\|_p?$$Note that for $p = 2$, it is known that $c = 1$. When $p = \infty$, $c$ can not be $1$ due to the counterexample $x = (1, 0, 0)$, $y = (.5, .5, .5)$.

Answer 1

Supongamos que estamos trabajando con una secuencia de espacios de $\ell^p$$\ell^q$. Desde el$$p=q=2$$case is taken care of already, assume$$p>2>q.$$Since $\ell^p\subconjunto\ell^q$ for $q\le p$ como aquí, a ambos lados de la desigualdad de sentido. Inicio de los índices de las secuencias en cero, porque nos da la gana. Así, un ejemplo para estirar las cosas: $$x_k=\begin{cases}1&k=0\\0&k\ge 1,\end{cases}$$ $$y_k=\begin{cases}1&k=0\\a&1\le k\le n\\0&k>n,\end{cases}$$ donde $a\in (0,1)$ $n\ge 1$ será elegido más tarde. Entonces$$\|x-y\|_p=a\sqrt[p]{n},$$$$\|y\|_q=\sqrt[q]{1+na^p},$$y $$\left\|x-\frac{y}{\|y\|_q}\right\|_p=\left(\left(1-\frac1{\|y\|_q}\right)^p+n\left(\frac{a}{\|y\|_q}\right)^p\right)^{\frac1p}=\frac{\left(\left(\|y\|_q-1\right)^p+na^p\right)^{\frac1p}}{\|y\|_q}.$$ Tenga en cuenta que el $na^p$ plazo no es $\|x-y\|_p^p$. Que no va a ayudar en lo que toda cosa grande en relación a $\|x-y\|_p$. En cambio, tenemos que tener $\|x-y\|_p$ pequeña mientras que simultáneamente $\|y\|_q-1$ es relativamente grande. Para ello, elija $n$ grandes y$$a=2\sqrt[q]{\frac1n}.$$Then $na^q=2^q$ and $\|y_q\|> 2$. From this,$$\left\|x-\frac{y}{\|y\|_q}\right\|_p>\frac{((\|y\|_q-1)^p)^{\frac1p}}{\|y\|_q}>\frac12.$$ En el otro lado,$$\|x-y\|_p=2\cdot\sqrt[q]{\frac1n}\cdot\sqrt[p]{n}=2\cdot n^{\frac1p-\frac1q}.$$Since $q<p$, that exponent is negative. As $n\to\infty$, the whole quantity then goes to zero. So then, is there a constant $c$ such that (something $> 1/2$) is at most ($c$ times something that goes to zero)? No, there is not. The needed $c$ goes to $\infty$ as $$ n.

La naturaleza recíproca de las $p$ $q$ no utilizado, sólo el hecho de que $p>q$ fue.