Encontrar el límite de $x$ enfoques $0$

Question

Me fue mostrado el problema anterior en mi clase de cálculo de hoy. Parece que uno puede resolver el límite en blanco al darse cuenta de que refleja el límite en amarillo.

Sin embargo, no entiendo cuál es la relación exacta entre estos dos límites. Mi TA se fue encima de él con bastante rapidez. Puede alguien explicar qué punto él estaba tratando de hacer?

Answer 1

$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Tome $x_0=0$ $f(x)=\cos{(1+\ln{(x^2+1)})}$

Tenemos que $f(0)=\cos{1}$

Podemos ver que $f$ es diferenciable en todos los $\mathbb{R}$ como una composición de funciones diferenciables.

De modo que su límite es la derivada de la $f$ $x_0=0$ es decir $f'(0)$

Por lo tanto $f'(x)=\frac{d(\cos{(1+\ln{(x^2+1)})})}{dx}=-\sin{(1+\ln{(x^2+1)})})(\frac{2x}{x^2+1})$ $f'(0)=0$

Por lo tanto, el límite es de $0$

Answer 2

Sugerencia: Tres aplicaciones de la fórmula en amarillo dar $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(1+\ln\left(1+x^2\right)\right)-\cos(1)}{x}\\ &=\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{\cos\left(1+\ln\left(1+x^2\right)\right)-\cos(1)}{\ln\left(1+x^2\right)-0}}_{\substack{h(u)=\cos(1+u)\\u=\ln\left(1+x^2\right)}}\,\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(1+x^2\right)-0}{x^2-0\vphantom{\left(x^2\right)}}}_{\substack{h(u)=\ln\left(1+u\right)\\u=x^2}}\,\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{x^2-0}{x-0\vphantom{\left(x^2\right)}}}_{\substack{h(u)=u^2\\u=x}} \end{align} $$

Answer 3

Esto debe ser considerado como un comentario que es demasiado largo para caber en la caja de comentarios.

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La técnica dada, en su pregunta es acerca de la observación de que el límite es de la forma $$\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)} {x-a} $$ for a suitable $f$ and $$ and then you can simply evaluate it as $f'(a) $. La técnica es bastante común (puede ser visto en algunas respuestas en este sitio web también), pero hay ciertos puntos a tener en cuenta al usar esta técnica:

• Se necesita cierta cantidad de experiencia para averiguar la función $f$, pero esta parte de la técnica no es difícil.
• Funciona sólo cuando la función de $f$ es de primaria o es tal que la fórmula para la derivada $f'(x) $ puede ser fácilmente mediante el uso de reglas de diferenciación.
• Y, finalmente, la mencionada fórmula para $f'(x) $ también funciona para $x=a$. Esta es la clave de la suposición de que amouts a la continuidad de la derivada $f'$$a$.

A menos que uno sea consciente de las limitaciones de arriba es mejor evitar esta técnica. Usted puede tener una mirada en esta respuesta a una pregunta relacionada con para más discusión sobre este tema.