¿En lenguaje llano, lo que ' s la importancia de un campo?

Question

Acaba de comenzar álgebra lineal. Ayer, leí las diez propiedades de campos. Lo que puedo decir un campo es un sistema matemático que podemos utilizar para hacer cálculos aritméticos comunes. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Más o menos, sí. Usted puede hacer aritmética ya con números naturales (en $\Bbb N$), pero tienes que tener cuidado con algunas operaciones:

La ecuación $x+a=b$ no necesariamente tiene una solución.

Así que uno preferiría trabajar en un anillo, como los enteros ($\Bbb Z$). La anterior ecuación tiene siempre una solución, $x=b-a$.

Pero entonces, la ecuación $ax=b$ no tiene siempre una solución, en un anillo.

Así que uno preferiría trabajar en un campo, como el de los números racionales ($\Bbb P$). La anterior ecuación tiene siempre una solución, $x=\frac ba$, si $a\neq0$.

Por lo tanto, trabajando en un campo es mucho más amigable. Sin embargo, no son extraños los campos como campos finitos. O cuaterniones, para que conmutatividad no aguanta más ($ab\neq ba$ habitualmente): ellos forman lo que se llama un sesgo de campo.

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Sólo para desarrollar esta forma de construcción de grandes herramientas un poco más:

Pero aún así, algunas de las ecuaciones que no tienen soluciones, como $x^2-2=0$ o $x^2+1=0$. Así que usted puede construir grandes campos: real algebraica de los númeroscomplejos números algebraicos, los números reales ($\Bbb R$), y por último los números complejos ($\Bbb C$).

El campo de los números reales tiene una propiedad valiosa, muy importante en el análisis: cada secuencia de Cauchy tiene un límite. Es decir, $\Bbb R$ es completa. Es, por ejemplo, fácil demostrar que la secuencia de los racionales $u_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$ es una secuencia de Cauchy, pero no converge a un racional.

El campo de los números complejos también está completo, y tienen la característica adicional de que cada polinomio no constante puede ser factorizado en factores de grado $1$. Es decir para ser un algebraicamente cerrado de campo. Sin embargo, se pierde algo demasiado, ya que, a diferencia de los reales, no es una ordenó campo: hay total de pedidos en los números complejos, pero ninguno es compatible con las operaciones aritméticas.

Como se puede adivinar, mientras que la construcción de más y más grandes, son más y más la generalización de lo que entendemos por un número.

Answer 2

Sí, en su nivel más básico, un campo es una generalización de los números racionales. En un campo, se puede hacer la suma, la resta, la multiplicación y la división como puede en $\Bbb Q$.

En un nivel más profundo, los campos han significado geométrico. Si alguna vez has estudiado un poco de geometría, entonces sabrías que hay al menos dos famosos formas de acercarse a la geometría: con los axiomas similar a la de Euclides los axiomas de (el enfoque sintético) y de otra manera por el uso de espacios vectoriales y las ecuaciones (álgebra lineal).

Sabemos que $\Bbb R\times \Bbb R$ ($\Bbb R$ espacio vectorial) puede interpretarse como un modelo de la geometría Euclidiana, y cómo su 1-d subespacios representan las líneas, elementos representan los puntos, etc, y que cumple con el sintético de los axiomas de la geometría Euclidiana.

Pero, ¿qué acerca de la otra dirección? ¿Por qué no podemos empezar con sintético axiomas y conseguir espacios vectoriales? Bien, esa es la cosa: se puede (si tienes suficiente axiomas.)

Resulta que si usted adopta los axiomas de Hilbert grupos $I-IV$ para la geometría del plano, entonces usted puede sistemática de construir un campo de $F$, tal que $F\times F$ modelos de avión exactamente cuando el avión se satisface Vilano del teorema.

Otra manera de garantizar la existencia del campo es la adopción de Hilbert de continuidad axioma $V$ llamado "el axioma de Arquímedes." Se sabe que este axioma, en presencia de los otros, implica Vilano del teorema, y el campo resultante será una Archimedian ordenó campo.

Usted puede, por supuesto, de las dimensiones superiores de la geometría y conseguir espacios vectoriales $F^n$, y así sucesivamente, siempre y cuando usted tiene algo así como Vilano del teorema o el axioma de Arquímedes en su axiomas.

Si usted me preguntó aproximada de la descripción de cómo los axiomas de los campos de traducir en ideas geométricas para espacios vectoriales, entonces esta es la forma en que iba a empezar. Dado que $F$ es un grupo aditivo, $F^n$ es también un aditivo grupo, y se puede traducir a cualquier punto hasta otro, mediante la suma de vectores. Para la multiplicación, se puede utilizar la escala de cualquier vector a otro vector de la misma 1-dimensional en el subespacio.

Ahora, esto es sólo la primera pista en el geométrica de la naturaleza de los campos. La teoría de Galois y, a continuación, la geometría algebraica realmente tomar la conexión a más altitudes extremas!

Answer 3

Ciertos elementos de seguir mostrando en matemáticas. Cuando ellos se presentan con bastante frecuencia, les damos nombres.

"Campo" es un ejemplo de esto. Usted sabe acerca de los números reales: son cosas que se pueden sumar y restar, multiplicar y dividir. La adición es conmutativa. Así es la multiplicación. Y la multiplicación se distribuye sobre la suma.

Resulta que hay otros conjuntos que tienen todas estas propiedades, como el de los Números Complejos.

Hay algunos otros juegos que son interesantes, como el conjunto {O, I} (esas son las letras "O" y la "I"), en la que puedo definir, además de por las normas $O + O = O, I + I = O, O + I = I + O = I$. Que puede parecer una tontería, pero se puede comprobar que hay una identidad (O), negación (la "negación" de cada elemento es en sí mismo!), y la adición es conmutativa. A continuación, puedo definir la multiplicación: $O*O = O*I = I*O = O; I*I = I$. Juntos, estos tienen todas las propiedades que he mencionado anteriormente, y esto se llama "el campo finito con dos elementos".

Debido a estas propiedades permiten manipular objetos mediante las reglas del álgebra que aprendió en la escuela secundaria, que es bastante cómodo. Y si SÓLO vas a usar esas reglas, entonces lo que sea que usted va a trabajar no sólo para los reales, pero para los complejos y diversos campos finitos, y muchos otros. Así que probar cosas acerca de general campos te ofrece más potencia que probar cosas acerca de los números reales.

(Los campos en general, NO tienen que tener una noción de "menor que" y "mayor que", así que cuando usted está trabajando con ellos, usted tiene que olvidar que parte de la escuela secundaria. :) )

Answer 4

Has descubierto todavía que finito campos de satisfacer el campo axiomas? A continuación, la media aritmética es bastante infrecuente. Por ejemplo, $F_p$ es el campo de los números enteros modulo $p$, un primo. En $F_7$ tenemos cosas como $5\veces 4=-1$. Pero todavía tiene muchas buenas propiedades.

Sin embargo, no es un teorema, básicamente fácil, pero tedioso, para demostrar que si usted también agregar una orden axioma (tenemos cosas como $x>0$ que se comporta de la manera que usted esperaría) y una "integridad" axioma (que todos vamos a tiene al menos un límite superior) el campo debe ser esencialmente la ordinaria de los números reales (es decir, sólo los reales recalificado).

Nota, por ejemplo, que cualquier orden sensible debe tener la propiedad de que si usted comienza con 0 y mantenga la adición de 1, se obtiene más y más números. Que debe ser falsa en un campo finito.

Answer 5

Esta es la manera más simples que puedo pensar:

Un campo es un lugar donde puede hacer la división y multiplicación conmuta.