Por alguna razón me estoy encontrando permutación de los ciclos de ser extraña y difícil de tratar.
Deje $\alpha$ $\beta$ ser ciclos de longitud impar (no lo sea). Probar que si $\alpha^2 = \beta^2$,$\alpha = \beta$.
No veo cuál es el extraño longitudes de $\alpha$ $\beta$ tiene que ver con nada. Veo que son permutaciones. Veo que $\alpha^2 = \beta^2 \implies \alpha^2\beta^{-2} = \varepsilon$. No creo que ayuda. No sé. El libro pasó la prueba de que una permutación no pueden ser ambos pares y los impares, pero no veo nada en la prueba de que la ayuda.
Si $\alpha = (a_1, a_2, \dots, a_s)$,$\alpha^2 = (a_1, a_3, \dots, a_s, a_2, \dots, a_{s-1})$. Si $\beta = (b_1, b_2, \dots, b_r)$,$\beta^2 = (b_1, b_3, \dots, b_r, b_2, \dots, b_{r-1})$. No veo la manera de hacer coincidir los elementos de $\alpha$ $\beta$ si estoy usando letras diferentes, pero no los puedo usar las mismas letras, porque no sé cuáles son iguales o diferentes. Y tal vez ellos son los mismos, pero lo que si uno de los ciclos se gira y comienza en un elemento diferente? ¿Cómo lidiar con cosas como esta?
Edit: Es la siguiente prueba de sonido?
La única manera para $\alpha^2$ a ser igual a $\beta^2$ mientras $\alpha \neq \beta$ $\alpha^2$ $\beta^2$ a ser igual a $\varepsilon$. Pero la única manera para que esto suceda es si el exponente 2, es igual a un múltiplo de la longitud del ciclo. Pero dado que las longitudes de $\alpha$ $\beta$ son impares, su longitud debe ser al menos de 3, ya que si fueran de longitud 1, que sería la misma que la longitud de 0. Por lo $\alpha^2$ $\beta^2$ no puede ser igual a $\varepsilon$, lo $\alpha$ debe ser igual a $\beta$.
