Para que $n$ esta desigualdad es siempre cierto $a^5+1\ge a^3+a^n$ por cada $a>0$?

Question

Para que $n$ esta desigualdad es siempre cierto $a^5+1\ge a^3+a^n$ por cada $a>0$?

1.$1$

2.$2$

3.$3$

4.$4$

5.$5$

Mi intento:Es claro que es cierto para $n=2$.Porque:

$(a^3-1)(a^2-1) \ge 0$

Es cierto, porque la $a^3-1$ $a^2-1$ son negativos o positivos.Pero hay un problema: ¿Cómo podemos asegurarnos de que no se mantiene para cualquier otro $n$?

Answer 1

Tenga en cuenta que la igualdad se cumple para $a = 1$.

$ a^5 + 1 \geq a^3 + a^n \\ \implica un^5^3 \geq a^n - 1 \\ \implica un^3(a + 1)(a - 1) \geq a^n - 1 $

Caso 1: $a > 1$. A continuación,

$$ a^4 + a^3 \geq 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1} $$

Caso 2: $0 < a < 1$. A continuación,

$$ a^4 + a^3 \leq 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n-1} $$

Ahora, ambos casos es cierto para la $n = 2$ y, sin duda,$a = 1$.

Caso 2 no tiene por $n=1$:

$$ a^4+a^3 \leq 1. $$

Deje $a = 1/x$ donde $x>1$. Entonces, la desigualdad se convierte en $f(x) = x^4 - x - 1 \geq 0$. Ahora, $f(x)$ es una curva que se abren hacia arriba, que es negativo en $x = 1$. Por lo tanto, $f(x)$ tiene una raíz real positiva, decir $\alpha > 1$. Esto significa que $f(x) < 0$ en el intervalo de $(1, \alpha)$, es decir, la desigualdad no tiene.

Caso 1 no tiene por $n=3$:

$ a^4+a^3 \geq 1 + a + a^2 \\ \implica un^4 + a^3 + a^2 + a + 1 \geq 2(1 + a + a^2) \\ \implica un^5 - 1 \geq 2(a^3 - 1) \\ \implica un^5 - 2a^3 + 1 \geq 0. $

Ahora, $p(a) = a^5 - 2a^3 + 1$ tiene un mínimos en $a_0 = \sqrt{6/5}$ donde $p(a_0) = -0.05162... < 0$.

Caso 1 no tiene por $n = 4$:

$ a^4 + a^3 > 1 + a + a^2 + a^3 \\ \implica p(a) = a^3 - a^2 - 1 \geq 0. $

Ahora, $q(a) \rightarrow \infty$$a \rightarrow \infty$, e $q(1) = -1$. Por lo tanto, si una raíz de $q(a)$$a_0 > 1$, $q(a)$ es negativa en el intervalo de $(1, a_0)$.

Caso 1 claramente no sostenga por $n>4$. Así, la desigualdad se cumple para toda la $\mathbb{R}^+$$n=2$.

Answer 2

Claramente $\;n=5\;$ está fuera de toda duda, como $\;a^3\le1\;$ no es cierto para todos los $\;a>0\;$.

Algo similar con $\;n=4\;$ , como entonces

$$a^5+1\ge a^3+a^4\iff (a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)\ge a^3(a+1)$$

lo cual es falso para valores cercanos a $\;1\;$ desde el derecho, por ejemplo, $\;a=1.1\;$ ().

Con $\;n=3\;$ obtendríamos

$$a^5+1\ge 2a^3\;,\;\;\text{ false, again for}\;\;a=1.1$$

Finalmente, para $\;n=1\;$ obtendríamos

$$a^5+1\ge a^3+a\;\;,\;\;\text{ false for}\;\;a=0.9 $$

Answer 3

$n = 1 \implies a^5+1 - a^3-a = a^3(a^2 -1) - (a-1) = (a-1)(a^4+a^3-1)$. Observar que $a \to 1^{-} \implies a^4+a^3 - 1 \to 1 $, $\epsilon = 0.01$ podemos encontrar una $\delta > 0$ tal que $ -\delta < a - 1 < 0$, e $|a^4+a^3-1 - 1| < 0.01$ o $a^4+a^3-1 > 0.99$, lo $(a-1)(a^4+a^3-1) < 0$$(1-\delta, 1)$.

Hiciste el caso de $n = 2$.

$n = 3$, $a^5+1- 2a^3 \ge 0$. Para $0 < a \le 1\implies a^5 \ge a^6 \implies a^5+1 - 2a^3\ge a^6-2a^3 + 1 = (a^3-1)^2 \ge 0$, y para $\sqrt{\dfrac{6}{5}} > a > 1, f(a) = a^5+1-2a^3\implies f'(a) = a^2(5a^2-6) < 0\implies f(a) < f(1) = 0$.

$n = 5$, elija $a > 1$ no se sostiene.

$n = 4$. $a^5+1 - a^3 - a^4 = a^3(a^2-1) - (a^2-1)(a^2+1) = (a^2-1)(a^3-a^2-1)$. Usted puede elegir $a$, ligeramente más grande que la de $1$, entonces no puede ser mayor que $0$.

Por lo tanto $n = 2$ es el único valor de $n$.