Encontrar el máximo de la $a+ab+abc+abcd$

Question

Deje $m$ ser cualquier darle postive resma números,y $a+b+c+d=m$donde $a,b,c,d\ge 0$ Encontrar el máximo del valor $$a+ab+abc+abcd$$

trate de

al$m=1$, $a+ab+abc+abcd\le a(b+1)(c+1)(d+1)\le\left(\dfrac{a+b+c+d+3}{4}\right)^4=1$ al $a=1,b=c=d=0$

al $m=3$, tengo la $$a+ab+abc+abcd=a+ab(1+c+cd)\le a+ab(1+c+d+cd)=a+ab(1+c)(1+d)\le a+a\left(\dfrac{b+1+c+1+d}{3}\right)^3=a+a\cdot\left(\dfrac{5-a}{3}\right)^3=4-\dfrac{1}{27}(a-2)^2(a^2-11a+27)\le 4$$ al $a=2,b=1,c=d=0$

para otros cualquier postive $m$, ¿Cómo encontrarlo? derivada parcial?

Answer 1

Me parece que este es un problema clásico de optimización restringida. Usted quiere maximizar $ f(a,b,c,d)=a+ab+abc+abcd $ en el conjunto de $A=\{(a,b,c,d)|a,b,c,d\in\mathbb{R}_{\ge0}; a+b+c+d=m\}$ primero determinar un (finito) conjunto de candidatos entre los que se encuentra el máximo. Para llegar a sus candidatos, primero supongo que la máxima podría ser en el interior de $A$ y de búsqueda busque los candidatos, y, a continuación, comprobar el límite de $\partial A$$A$.

Interior: Usted tiene el auxiliar condición de $a+b+c+d-m=0$. Definimos la función de Lagrange $L(a,b,c,d,\lambda):= f(a,b,c,d) + λ(a+b+c+d)$. Un punto extremo de $L$ es un punto extremo de $f$ cuando se sujeta a la condición de auxiliar. Obtenemos los puntos extremos de $L$ mediante la configuración de su gradiente, es decir, todas sus derivadas parciales a cero: $$ \frac{\partial L}{\partial a} = 1+bc+bcd+\lambda =0$$ $$ \frac{\partial L}{\partial b} = a+ac+acd+\lambda=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial c} = ab +abd+\lambda=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial d}= abc+\lambda=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial\lambda}=a+b+c+d-m=0$$ La solución de este sistema no lineal de ecuaciones, que os dejo... (se puede descartar todas las soluciones, no en $\mathbb{R}_{\ge0}^4$)

Límite: El límite puede ser de: $a=0,b=0,c=0$ o $d=0$. Así que a buscar el resto de los candidatos de la frontera, tenemos que considerar cada coordenada por su propia cuenta. Supongamos que estamos considerando la coordenada $x$ ($x$ siendo uno de los $a,b,c,d$) ahora. Tenemos dos auxiliares de condiciones, a saber,$a+b+c+d-m=0$$x=0$, así que tenemos dos multiplicadores de Lagrange, $\lambda$$\mu$. Nuestra nueva función de Lagrange se ve de la siguiente manera: $$ L(a,b,c,d,\lambda,\mu):= f(a,b,c,d) + \lambda(a+b+c+d-m) + \mu x.$$De continuar como antes, excepto que ahora tiene seis ecuaciones y de incógnitas.

Finalmente, evalúe $f$ en cada uno de los candidatos punto y determinar el máximo.

Answer 2

Denotar la función objetivo por $f$. El dominio bajo consideración es una $3$-dimensiones simplex $\Sigma$${\mathbb R}^4$. Desde $f$ es no homogéneas el parámetro de $m>0$ se producen en la descripción de $\Sigma$ entra en la discusión de una forma esencial. Es fácil ver que en ${\rm argmax}$ $f\restriction\Sigma$ tenemos $a\geq b\geq c\geq d\geq0$. Esto permite restringir el análisis a los siguientes estratos de $\Sigma$: $$\eqalign{\rm{(i)} \quad &a>0,\qquad b=c=d=0;\cr \rm{(ii)} \quad &a>0,\quad b>0,\qquad c=d=0;\cr \rm{(iii)} \quad &a>0,\quad b>0,\quad c>0,\qquad d=0;\cr \rm{(iv)} \quad &a>0,\quad b>0,\quad c>0,\quad d>0\ .\cr}$$ Caso de que (i) es trivial: Uno necesariamente ha $a=m$, por lo tanto $f=m$.

En el caso (ii), tenemos que considerar el Lagrangiano $$\Phi:=a+a b-\lambda(a+b)$$ y obtener la condicional punto fijo $$a_*={m+1\over2},\quad b_*={m-1\over2}\ .$$ La restricción $b>0$ implica que este punto es relevante sólo cuando $m>1$. Se obtiene $$f(a_*,b_*,0,0)={1\over4}(m+1)^2\ ,$$ que es $>m$ al $m>1$.

En el caso (iii) debemos tener en cuenta que el Lagrangiano $$\Phi:=a+a b+abc -\lambda(a+b+c)$$ y después de obtener algunos de cálculo de dos condicionalmente puntos estacionarios $(a,b,c,0)$, el cual $$a={b^2+1\over b},\quad b={1\over6}\bigl(m+1\pm\sqrt{(m+1)^2-12}\bigr),\quad c=b-1\ .$$ Aquí el signo menos puede ser rechazada, y la condición de $c>0$ implica que el resto de punto de $(a_*,b_*,c_*,0)$ sólo es relevante cuando se $m>3$. A continuación, se obtiene una $$f(a_*,b_*,c_*,0)={13 + \sqrt{(m+1)^2 a 12} + m \bigl(m+2 + \sqrt{(m+1)^2 a 12}\bigr)^2\más de 54 (m+1 + \sqrt{(m+1)^2-12})}\ ,\la etiqueta{1}$$ que es $>{1\over4}(m+1)^2$ al $m>3$.

Caso (iv) no puede ser tratado de una manera similar, ya que estamos ejecutando en un cuarto grado de la ecuación que contiene el parámetro de $m$. Por lo tanto, tenemos que parar aquí.

Me gustaría decir que cuando $m\leq1$ $\max f=m$, y es que cuando se $1<m\leq 3$ ha $\max f={1\over4}(m+1)^2$. Al $3<m<?$ el máximo de $f$ está dado por $(1)$, y a partir de un valor desconocido de $m$ ${\rm argmax} f$ tendrá todas las cuatro coordenadas $>0$.