Demostrar que $S_k(p)= \begin{cases} -1, & \text{if $ (p-1) \mid k $ } \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ en $\Bbb Z_p$

Question

Considere $\Bbb Z_p= \Bbb Z/{p \Bbb Z}$ donde $p$ es un primo de impar.

Ahora denota $S_k(p)= \sum _{j=0}^{p-1} j^k$ en $\Bbb Z_p$

El problema es demostrar que $S_k(p)= \begin{cases} -1, & \text{if $ (p-1) \mid k $ } \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ en $\Bbb Z_p$

Ahora sabemos $\Bbb Z_p^*$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ Así, en el primer caso, si tenemos $k=a(p-1)$ entonces $\forall j \in \Bbb Z_p^*$ tenemos $j^k=j^{(p-1)a}=1$ . Por lo tanto, $S_k(p)=p-1=-1$ en $\Bbb Z_p$

si $(p-1)$ no divide $k$ entonces estoy teniendo problemas. Si $\gcd(p-1,k)=1$ entonces $S_k(p)= \sum _{j=0}^{p-1} j=p(p-1)/2=0$ en $\Bbb Z_p$

¿Pero para los otros casos? Por favor, ayude y explique en detalle.

Answer 1

Lemma(I) : Dejemos que $p$ para ser un primo de impar, entonces $\big( \mathbb{Z}_p^* , . \big)$ es un cíclico grupo.

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Lema(II) : Para cada $i \in \mathbb{Z}_p^*$ ; tenemos: $i \mathbb{Z}_p^* = \mathbb{Z}_p^*$ .

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Lema(III) : Dejemos que $p$ para ser un primo impar, y que $k$ para ser cualquier número entero arbitrario.

• Si $p-1 \mid k$ ; entonces para cada $j \in \mathbb{Z}_p^*$ ; tenemos: $j^k \overset{p}{\equiv} 1$ .

• Si $p-1 \nmid k$ ; entonces existe $l \in \mathbb{Z}_p^*$ ; tal que: $l^k \overset{p}{\ncong} 1$ .

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Prueba :

• La primera afirmación es el resultado trivial del pequeño teorema de Fermat.

• Segunda declaración: Que $\varepsilon$ para ser un generador de $\big( \mathbb{Z}_p^* , . \big)$ ;
  y que $d:=\gcd(k,p-1)$ .
  También deja que $t:=\dfrac{p-1}{d}$ ;
  entonces es fácil comprobar que para cada $r$ con $\gcd(r,t)=1$ ;
  que tenemos: $(\varepsilon^r)^k \overset{p}{\ncong} 1$ .

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Lema(IV) : Dejemos que $G$ sea cualquier grupo y $a \in G$ cualquier elemento de orden finito. Entonces tenemos: $$\text{ord}(a^t)=\dfrac{\text{ord}(a)}{\gcd(\text{ord}(a),t)}.$$

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• Si $p-1 \mid k$ ; entonces para cada $j \in \mathbb{Z}_p^*$ ; tenemos: $j^k \overset{p}{\equiv} 1$ . Así que la suma ${\sum}_{j \in \mathbb{Z}_p^*}j^k= {\sum}_{j \in \mathbb{Z}_p^*} 1= p-1=-1.$

• Si $p-1 \nmid k$ ; entonces existe $l \in \mathbb{Z}_p^*$ ; tal que: $l^k \overset{p}{\ncong} 1$ . Fíjate que: $$\color{Blue}{ {\sum}_{ j \in \mathbb{Z}_p^*} j^k }= {\sum}_{lj \in \mathbb{Z}_p^*} (lj)^k = {\sum}_{ j \in \mathbb{Z}_p^*} l^kj^k = \color{Red}{l^k} \color{Blue}{ {\sum}_{ j \in \mathbb{Z}_p^*} j^k } \\ \Longrightarrow (1-\color{Red}{l^k} ) \color{Blue}{ {\sum}_{ j \in \mathbb{Z}_p^*} j^k } = 0 ;$$ pero fíjese que $(1-\color{Red}{l^k} )$ no es cero;
  lo que implica que: $\color{Blue}{ {\sum}_{ j \in \mathbb{Z}_p^*} j^k }=0$ .