Tras demostrar el teorema de Fubini-Tonelli una fórmula sobre coordenadas polares en $\mathbb R^n$ se da en mi clase de la siguiente manera. Sea $f$ sea una función integrable de valor real sobre $\mathbb R^n$ y $S^{n-1}$ sea la superficie de $n$ -bola unitaria con respecto a la norma euclidiana. A continuación se define una nueva función $\tilde f(r, \omega) :\mathbb R^+ \times S^{n-1} \to \mathbb R$ por $$\tilde f(r, \omega) = f(r\omega).$$ Además, dejemos que $E$ sea un subconjunto medible de $\mathbb R^n$ y $r>0$ . Definir $E_r \subset S^{n-1}$ como $$E_r := \{\omega\in S^{n-1}:r\omega \in E\}.$$ Finalmente, la fórmula de coordenadas polares en $\mathbb R^n$ es la siguiente.
$$ \int_E f(x) dx = \int_0^\infty \left( \int_{E_r} \tilde f(r, \omega)d\omega \right) r^{n-1} dr. $$
Tengo las siguientes preguntas sobre esta fórmula.
- ¿Cómo se relaciona esta fórmula con el caso bidimensional? Recordemos que en el caso bidimensional, tenemos $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ y $$\iint f(x, y) dxdy = \iint f(r\cos\theta, r\sin\theta) rdrd\theta.$$ Por lo tanto, la fórmula general es similar, pero sigue siendo diferente, especialmente el ingegrado $\tilde f(r, \omega)$ . ¿Cómo interpreto esto, por favor?
- ¿Cómo puede $\mathbb R^n$ se escriba como $\mathbb R^+ \times S^{n-1} $ ? Comparando con la situación bidimensional, $r$ parece ser el mismo radio. Sin embargo, el ángulo $\theta$ en $2$ -d case se sustituye ahora por $\omega \in S^{n-1}$ . ¿Cómo se puede tratar esto como ángulo como argumento, por favor?
- ¿Por qué y cómo definimos $\tilde f(r, \omega) = f(r\omega)$ ?
- Cómo interpretar la definición de $E_r := \{\omega\in S^{n-1}:r\omega \in E\}$ ?
¿Podría alguien explicarme esto, por favor? Se agradecen respuestas más detalladas ya que sé muy poco de esto. Gracias.
