¿Por qué la topología en un conjunto se define de la manera que es?

Question

Siguiente es de Wolfram Mathworld

"Un espacio topológico, también llamado un resumen topológica del espacio, es un conjunto X junto con una colección de subconjuntos abiertos de T que satisface las cuatro condiciones:

1. El conjunto vacío es en T.

2. X está en T.

3. La intersección de un número finito de conjuntos en T es también en T.

4. La unión de un número arbitrario de conjuntos en T es también en T." http://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html

Mi pregunta es ¿por qué la topología en un conjunto se define de esta manera? Cómo estas definición de conectar con nuestra idea intuitiva de diferentes tipos de espacio topológico (he.la línea e, gráficos, 3-esfera, toro, etc).

Obviamente, soy nuevo en la topología y estaremos encantados si usted explicar en término básico. Yo estaría especialmente interesado en saber cómo diferenciar entre un segmento de línea recta y una "Y" en forma gráfica utilizando estas definiciones.

He convencido a mí misma de una manera, por favor, hágamelo saber si es correcto. Puedo separado Y de forma natural en tres segmentos pongamos nombre a,b y c.

Sea X={a,b,c}.

Por lo que la topología de Y en X será { {},{a,b,c},{a,b},{a,c},{b,c},{a},{b},{c}}.

Podemos romper un segmento de línea en tres partes. Vamos a hacer lo mismo para el segmento de la línea l.

Por lo que la topología de l a X será { {},{a,b,c},{a,b},{b,c},{b}}. La topología de y y l están en X y obviamente diferentes. :)

Answer 1

La definición original de una topología en un conjunto que fue dado por Hausdorff en 1914 y participan en lo que él llama los barrios. Básicamente se define una topología en un conjunto $X$ como una colección de subconjuntos de a $X$ por cada punto de $X$, donde estos subconjuntos (o barrios) son necesarias para satisfacer ciertos axiomas (por ejemplo, cada barrio de $x\in X$ debe contener $x$ sí; véase aquí para una lista de ellos). En realidad, su definición labrado un poco más regular tipo de espacio topológico (hoy en día llamado Hausdorff, vaya usted a saber). De todos modos, más tarde, otras personas (supongo que Bourbaki fue implicado) se dio cuenta de que usted podría utilizar el open conjuntos para definir un espacio topológico. En este contexto, un conjunto abierto se define como un subconjunto que contiene una vecindad de cada uno de sus puntos.

Con respecto a su intuición acerca de la diferenciación entre los diferentes espacios topológicos, no sé si el intento se puede poner en una posición firme (por ejemplo, puede parecer que la mezcla de la noción de abrir los conjuntos y de los "segmentos"). También se debe notar que aparentemente diferentes topologías puede realmente describir el mismo espacio (la palabra clave aquí es homeomórficos). Así que mirando la real abierta conjuntos no es necesariamente una buena manera de distinguir entre espacios topológicos. Generalmente topologists muestran que el intervalo de espacio, y el eje y el espacio no son homeomórficos mostrando que si se quita cualquier punto del intervalo que usted consiga un espacio con dos piezas (llamadas componentes conectados), pero si se quita el punto de intersección del eje Y del espacio que tres de los componentes del espacio. En general, el negocio de distinguir entre los no-homeomórficos espacios topológicos es duro y se inspiró a la gente a venir para arriba con un montón de ideas interesantes. Básicamente, todos los topológica de la noción de encontrar en una topología de libros de texto es un buen candidato para distinguir entre espacios: conectividad, compacidad, propiedades de separación, homotopy, la homología...

Buena suerte con tus estudios.

Answer 2

Esto puede estar motivado por la métrica de los espacios: Si se define un conjunto abierto en un espacio métrico $(M,d)$ ser $U$ tal que $$\text{for each $x\U$ there is an $ε>0$ such that $B(x,ε)⊆U$}\quad (*)$$then these sets satisfy exactly the axioms for a topological space. The intuition of the property $(*)$ is that the point $x$ has enough "wiggle room" around it in the set $U$. Then we can forget about the metric, and just keep the family of open sets, and we see that some properties of $M$, como la conexión, puede ser probada utilizando sólo los bloques abiertos, lo que significa que sólo dependen de la topología.

En realidad, existen varias definiciones equivalentes de un espacio topológico. El que preguntó acerca de los usos abrir sets. Otro de los usos barrio los filtros en su lugar: Para cada una de las $x$ en el conjunto de $X$, tenemos un no-colección vacía $\cal N_x$ tal que

1. Cada una de las $N\in\cal N_x$ contiene $x$,
2. Para cada una de las $N,M\in\cal N_x$,$N\cap M\in\cal N_x$,
3. Para cada una de las $N\in\cal N_x$$K\supset N$,$K\in\cal N_x$,
4. Para cada una de las $N\in\cal N_x$, hay un $M\in\cal N_x$ tal que $N\in\cal N_y$ por cada $y\in M$.

Podemos entonces definir un conjunto $U$ a abrirse si $$\text{ $U$ is a neighborhood of $x$ for each $x\U$}\quad (**)$$ y esta colección de $\cal O$ es entonces una topología en $X$.
Compare esto con la definición de un conjunto abierto en el espacio métrico $M$. Si definimos $\cal N_x$ $x\in M$ a ser la colección de todas las superseries de bolas $B(x,ε)$$ε>0$, entonces estas colecciones satisfacer los cuatro axiomas anteriores, y un conjunto abierto en el sentido de $(**)$ es exactamente un conjunto abierto en el sentido de $(*)$. En realidad, basta con que se satisfacen los tres primeros axiomas de orden para $\cal O$ a ser una topología, pero la cuarta propiedad que garantiza que cada una de las $N\in\cal N_x$ es, de hecho, un barrio de $x$ de acuerdo a la definición de un barrio en un espacio equipado con una topología. (Cada barrio contiene un conjunto abierto que contiene a $x$).

Answer 3

Como para la intuición detrás del concepto de un espacio topológico, ver MO/19152. Mi favorito respuesta es este uno.