La manera de resolver funcional básica de las ecuaciones

Question

Es allí cualquier manera general para resolver funcional básica de las ecuaciones?

Por ejemplo, tenemos formas algebraicas para resolver ecuaciones algebraicas ($x$)!

Pero para las ecuaciones funcionales como :

$$f(x) + f(x-1) = 0$$

o, $$f(x)-f(x^2)=1$$

¿Cómo hace uno para encontrar $f(x)$?

Puedo resolver uno o dos con prueba y error, pero cuando he usado WolframAlpha fue capaz de resolver tanto [Links : 1 y 2] correctamente!

Las soluciones fueron : 1. $f(x)=-((-1)^x)$ y 2. $f(x)=\dfrac{\log{\log{x}}}{\log{2}}$

Cómo resolverlo? No estoy preguntando acerca de los complicados tener $f(f(x))$ o $f(x)f(y)$...Sólo los más básicos, habiendo $x^n$ o $2x-1$ o algo así...

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P. S. - he visto un montón de preguntas similares a esta, pero ninguno de los temas generales o contestado a mi pregunta...

Answer 1

El primero es un básico de recurrencia lineal, resuelto a partir de su ecuación característica: la solución de tales ecuaciones se sabe que tienen una forma exponencial, $ar^x$, y la ecuación se vuelve a

$$ar^x+ar^{x-1}=0,$$simplifying to$$r+1=0$$ y a partir de la raíz de $r=-1$, $$f(x)=a\cdot(-1)^x.$$ El valor de $a$ es arbitrario. Por cierto, si usted no da más de las condiciones en $f$, sólo los valores de una unidad de distancia se encuentran relacionados entre sí, de modo que cualquier función de $g(x)$ definido en el rango de $[0,1)$ puede servir para extender $f$ sobre todo $\mathbb R$.

$$f(x)=g(\rfloor x\lfloor)\cdot(-1)^{\lfloor x\rfloor}$$

($\rfloor x\lfloor:=x-\lfloor x \rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$.)

Por ejemplo, tomando $g(x)=x(1-x)$, obtenemos una alternancia de parábolas.

La segunda ecuación se puede transformar en el primer formulario.

De hecho, $x=\ln_2(y)$ hace

$$f(2^y)-f(2^{2y})=1$$

y $y=\ln_2(z)$ hace

$$f(2^{2^z})-f(2^{2^{z+1}})=1,$$ es decir, $$h(z)-h(z+1)=1.$$

Por un proceso similar al anterior, la solución es

$$h(z)=-z+a,$$ y $$f(x)=-\ln_2(\ln_2(x))+a.$$ Y la solución general $$f(x)=-\ln_2(\ln_2(x))+g(\rfloor\ln_2(\ln_2(x))\lfloor).$$

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Con estos métodos, usted puede dirigirse a los lineales de las recurrencias de la forma

$$\sum_k c_kf(x+k)=RHS(x),$$

$$\sum_k c_kf(kx)=RHS(x)$$o

$$\sum_k c_kf(x^k)=RHS(x).$$