Taylor expansiones de orden $n+1$ $C^n$ funciones

Question

Pregunta Principal.

Supongamos $f:I\to\mathbb{R}$ es de clase $C^n$, y supongamos $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $n+1$$a$ : de lo anterior se sigue que el $f^{(n)}$ tiene una derivada en $a$? Si no, ¿cuáles son algunas otras cuestiones que se pueden imponer en $f$ para hacer tal afirmación verdadera?

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Motivación.

Deje $I$ ser un intervalo, y deje $a\in I$ ser uno de sus puntos. Recordemos que $f:I\to\mathbb{R}$ se dice que tiene una expansión de Taylor de orden $n$ $a$ si existen números reales $c_0,\dots,c_n$ tal que $$f(x)=\sum_{k=0}^nc_k(x-a)^k+o_a\Big((x-a)^n\Big)$$ El siguiente es un resultado básico acerca de Taylor expansiones :

Teorema de 1a. Deje $f:I\to\mathbb{R}$ ser una función, entonces

• $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $0$ $a$ fib $f$ es continua en a $a$,
• $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $1$ $a$ fib $f$ tiene una derivada en $a$.

Analoguous afirmaciones son falsas por orden superior expansiones de Taylor : incluso si $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $n\geq 1$ a $a$, $a$ puede ser el único punto en $I$ donde $f$ es continua, y no digamos diferenciable.

Recordemos que Talor expasions puede ser integrado :

Teorema 2. Deje $F:I\to\mathbb{R}$ ser diferenciable, y deje $f=F'$ ser sus derivados. Supongamos $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $n$$a$. A continuación, $F$ tiene un Taylor expasion de la orden de $n+1$ $a$ que se da, como uno podría esperar, por formalmente la integración de la Taylor expasion de $f$ (y añadiendo $F(a)$).

Vamos a definir $$D^n(I)=\lbrace f:I\to\mathbb{R}\quad\text{ s.t. }\quad f',f'',\dots,f^{(n)}\text{ exist everywhere on }I\rbrace\,,$$ y dos subconjuntos $$D_aD^n(I)\subset C_aD^n(I)\subset D^n(I)$$ donde $f\in D^n(I)$ pertenece a $C_aD^n(I)$ fib $f^{(n)}$ es continua en a $a$, e $D_aD^n(I)$ fib $f^{(n)}$ es diferenciable en a $a$. Tenga en cuenta que $D^0(I)$ es el conjunto de todas las funciones $I\to\mathbb{R}$, $C_aD^0(I)$ el subconjunto de las funciones que son continuas en a $a$, e $C_aD^0(I)$ el subconjunto de las funciones que son diferenciables en a $a$.

Desde el Teorema de 1a y el Teorema 2 es fácilmente de la siguiente manera, integraciones sucesivas, que

Teorema 1b. Deje $f\in D^n(I)$ ser una función con derivados hasta el fin de $n$

• si $f\in C_aD^n(I)$, $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $n$$a$, (EDIT : este, si bien es cierto, se sigue del siguiente punto, y la continuidad no juega ningún papel)
• si $f\in D_aD^n(I)$, $f$ tiene una expansión de Taylor de orden $n+1$$a$.

Y los coeficientes en la expansión de Taylor son, hasta cierto factoriales, $f(a),\dots,f^{(n)}(a)$$f^{(n+1)}(a)$.

Para $n=0$, a la inversa se tiene : este es el Teorema de 1a, pero para $n\geq 1$, contrario a ambas instrucciones es falso : son funciones diferenciables tales que $f(x)=o(x^2)$$0$, sin embargo, $f'$ ni siquiera es continua en a$0$, $f(x)=x^3\sin(\frac1{x^{2}})$ va a hacer.

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Algunos cálculos

Supongamos $f$ $C^n$ y tiene una expansión de Taylor de orden $n+1$, por lo que, para algunos,$c_{n+1}\in\mathbb{R}$, \begin{array}{rcl} f(x) & = & \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \overbrace{\int_{a}^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\left[f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)\right]dt}^{=o((x-a)^n)}\\ & = & \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{c_{n+1}}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}+o_a\Big((x-a)^{n+1}\Big) \end{array} Tomamos la diferencia y obtener $$\frac1{x-a}\int_{a}^x\left(\frac{x-t}{x-a}\right)^{n-1}\left[\frac{f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)-c_{n+1}(t-a)}{x-a}\right]dt=o_a(1)$$ que podemos reescribir como $$\frac1{x-a}\int_{a}^x\left(\frac{x-t}{x-a}\right)^{n-1}\left[\frac{f^{(n)}(t)-f^{(n)}(a)-c_{n+1}(t-a)}{t-a}\right]\frac{t-a}{x-a}dt=o_a(1)$$ la cual puede escribirse como $$\int_{0}^1(1-u)^{n-1}\left[\frac{f^{(n)}((x-a)u+a)-f^{(n)}(a)-c_{n+1}(x-a)u}{x-a}\right]du=o_a(1)$$ Sin pérdida de generalidad podemos suponer $a=0$, y el establecimiento de $g(t)=f^{(n)}(t)-f^{(n)}(0)$, $g$ se puede ser de cualquier función continua bajo el sol de fuga en $0$, y la hipótesis se convierte en $$\int_{0}^1(1-u)^{n-1}\left[\frac{g(xu)}{x}-c_{n+1}u\right]du=o_a(1)$$ y la pregunta se convierte en

Supongamos $c$ es un número real, y $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua, se desvanece en $0$ y satisface $$\lim_{x\to 0}\int_{0}^1(1-u)^{n-1}\left[\frac{g(xu)}{x}-cu\right]du=0$$ Nada puede deducir acerca de la diferenciabilidad de $g$$0$? Como "$g$ es diferenciable en a$0$$g'(0)=c$?

Es de suponer que el $(1-u)^{n-1}$ factor no tiene ninguna incidencia en el resultado, y la sustitución de $g$ $h(t)=g(t)-ct$ también podemos reducir el problema a la siguiente

Supongamos $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es continua, se desvanece en $0$ y satisface $$\lim_{x\to 0}\int_{0}^1\frac{h(xu)}{x}du=0$$ Es $h$ necesariamente diferenciable en a$0$$h'(0)=0$?

La respuesta a esta pregunta es no : considere el $h(x)=x(1-\delta(x))$ donde $\delta(x)=\sum_{k=0}^\infty T_k(x)$ donde $T_k$ es el piecwise afín a la tienda de la función constante igual a cero fuera de$[2^{-n}-\frac1{4^n},2^{-n}1\frac1{4^n}]$, y toma el valor de$1$$2^{-n}$.

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Probablemente la conclusión y la nueva pregunta

Parece probable que la respuesta a la pregunta de esta generalidad (que es : $f$ $C^n$ la admisión de una expansión de Taylor de orden $n+1$) es no, y la de arriba debe proporcionar un ejemplo contrario. Sin embargo, parece probable que la respuesta es sí si asumimos $f^{(n)}$ $K$- lipschitz en un barrio de $0$ :

Supongamos $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $K$- lipschitz, se desvanece en $0$ y satisface $$\lim_{x\to 0}\int_{0}^1\frac{h(xu)}{x}du=0$$ Es $h$ necesariamente diferenciable en a$0$$h'(0)=0$?

Answer 1

Usando el lema de abajo, y el razonamiento esbozado en la edición a la quesion, podemos probar el siguiente :

Teorema. Supongamos $f:I\to\mathbb{R}$ $C^n$ y tiene una expansión de Taylor de orden $n+1$$a$. Supongamos, asimismo, que los $f^{(n)}$ es de Lipschitz en un barrio de $a$, $f^{(n)}$ es diferenciable en a $a$ e las $(n+1)$st coeficiente de la expansión de Taylor de $f$ $a$ es igual a $f^{(n+1)}(a)$ (hasta algunos factorial).

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Este lema es nada nuevo, pero me tomó un tiempo para averiguar una prueba.

Lema. Supongamos $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ $1$- Lipschitz, se desvanece en $0$ y satisface $$\lim_{x\to 0}\int_0^1\frac{f(xu)}{x}du=0$$ A continuación, $f$ es diferenciable en a$0$$f'(0)=0$.

Prueba. Vamos a definir la (derecha) superior e inferior de la Dini derivados a $0$ $$D^+=\limsup_{x\to 0^+}\;\frac{f(x)}{x}, \qquad D^-=\liminf_{x\to 0^+}\;\frac{f(x)}{x}$$ Claramente, desde $f$ $1$- Lipschitz tenemos $-1\leq D^-\leq D^+\leq 1$. Es suficiente para probar que $D^+=0=D^-$, y vamos a ser $D^+\leq 0$; $D^-\geq 0$ seguirá al considerar $-f$.

Supongamos, por el contrario, $D^+$ a ser positivo, es decir,$D^+>0$. Deje $\epsilon>0$ : entonces, no es $\delta>0$ tal que $$ \forall x\in\mathbb{R}^*_+,\quad\left(x<\delta\Longrightarrow\left|\int_0^1\frac{f(xu)}{x}du\right|<\epsilon\right) $$ Por definición de $D^+$ existe $0<x_\epsilon<\delta$ tal que $$\frac{f(x_\epsilon)}{x_\epsilon}\geq\frac12 D^+.$$ Entonces, si partimos $y_\epsilon=x_\epsilon-\frac12 D^+x_\epsilon$ $\theta=\frac{y_\epsilon}{x_\epsilon}=1-\frac12D^+$ $$ \begin{array}{rcl} \underbrace{\int_0^1\frac{f(xu)}{x}du}_{|\cdots{}|\leq\epsilon} & = & \int_0^\theta\frac{f(x_\epsilon u)}{x_\epsilon }du + \int_\theta^1\frac{f(x_\epsilon u)}{x_\epsilon }du\\ & = & \theta^2\underbrace{\int_0^1\frac{f(y_\epsilon u)}{y_\epsilon}du}_{|\cdots{}|\leq\epsilon} + \underbrace{\int_\theta^1\frac{f(x_\epsilon u)}{x_\epsilon }du}_{\geq\frac12\cdot{}\left(\frac12D^+\right)^2} \end{array}$$ El pasaje de $\int_0^\theta\frac{f(x_\epsilon u)}{x_\epsilon }du$ $\theta^2\int_0^1\frac{f(y_\epsilon u)}{y_\epsilon}du$es sólo de escala. La desigualdad de $\int_\theta^1\frac{f(x_\epsilon u)}{x_\epsilon }du\geq\frac12\cdot{}\left(\frac12D^+\right)^2$ sigue de $f$ $1$ Lipschitz y comparando $f$ a los afín a la función con pendiente $1$ que toma el valor de $\frac12 D^+$ $1$ y es igual a $0$$\theta$.

Por lo tanto, $$ \frac12\cdot{}\left(\frac12D^+\right)^2\leq(1+\theta^2)\epsilon\leq 2\epsilon. $$ Sinc $\epsilon>0$ es arbitrario, tenemos $D^+=0$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto $D^+\leq 0$ $D^+=0=D^-$ $f$ diferenciable en a$0$$f'(0)=0$.

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EDIT. Tenga en cuenta que esto demuestra el siguiente :

La proposición. Supongamos $f:I\to\mathbb{R}$ es localmente Lipschitz, donde $I\subset\mathbb{R}$ es un intervalo, y deje $a\in I$ ser uno de sus puntos. A continuación, $f$ es diferenciable en a $a$ si y sólo si $$\lim_{x\to a}\int_0^1\frac{f((x-a)u+a)-f(a)}{x-a}du=\ell$$ existe en $\mathbb{R}$, e $\ell=\frac12f'(a)$.

Esta proposición se aplica a multivariable de Lipschitz mapas de $u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ como un medio para demostrar la existencia de derivadas direccionales. Es conocido (véase, por ejemplo, exercice de 11.48, p.343, en Giovanni Leoni es Un Primer Curso en Espacios de Sobolev) que multivariable de Lipschitz de la función que tiene la Gâteaux derivados en un denso conjunto de direcciones $D\subset\mathbb{S}^{N-1}$, y que satisfacen la espera de la linealidad de la relación $$\forall v\in D,\quad\frac{\partial u}{\partial v}=\sum_{i=1}^N\frac{\partial u}{\partial x^i}v^i$$ donde $(x^1,\dots,x^N)$ son las de coordinar las funciones en relación a alguna base $(e_1,\dots,e_N)$ de las direcciones (en $D$), y $v=\sum_{i=1}^Nv^ie_i$, por lo que

La proposición. Supongamos $u:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ es de Lipschitz, donde $I\subset\mathbb{R}$ es un intervalo, y deje $a\in I$ ser uno de sus puntos. A continuación, $f$ es diferenciable en a $a$ si y sólo si existe una lineal mapa de $L:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}$ y una contables conjunto de direcciones $D\subset\mathbb{S}^{N-1}$ tal que $$\forall v\in D,\quad\lim_{h\to 0}\int_0^1\frac{u(a+t.hv)-u(a)}{h}dt=\frac12 Lv$$ existe en $\mathbb{R}$, y, a continuación,$L=D_au$.