Pregunta lógica sobre el teorema fundamental del cálculo

Question

Así que si $f$ es continua en a $[a,b]$ $F$ es cualquier antiderivada de $f$, e $I=[a,b]$ $$\int_{I}f=F(b)-F(a)$$

Bueno por Lo que la principal prueba de esto de la siguiente manera :

Deje $F_0,F_1$ ser particular antiderivatives, Tenemos $F_1-F_0=C \ => \ F_1=F_0+C$ deje $I_1=[a,x]$, ya que;

$$F_0=\int_{I_1}f$$ We have $F_0(a)=0 = > F_1(a)=C$

A continuación, la prueba está casi terminado. Pero mi problema es que, si por cualquier antiderivada $F_0(a)=0$ no $F_1(a)=0$ ser el caso, ya que lo que hicimos aquí fue el uso de la definición de antiderivada, fácilmente podríamos escribir $$F_1=\int_{I_1}f$$

Answer 1

Si $F(x)$ es cualquier antiderivada de $f(x)$$[a,b]$, entonces las dos funciones de $F(x)$ $\int_a^x f(t)\,dt$ difieren en una constante en dicho intervalo. Por lo tanto, tenemos

$$F(x) =\int_a^x f(t)\,dt+C$$

para $x\in [a,b]$.

Tomando nota de que $F(a)=0+C$ tenemos $F(x)-F(a)=\int_a^x f(t)\,dt$, que para $x=b$ se obtiene el codiciado igualdad

$$F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)\,dt$$

para cualquier antiderivada $F(x)$$f(x)$$[a,b]$.

Answer 2

Que no le suceda a cualquier derivado. Usted no coger $F_0$ a cualquier antiderivada, eligió el que se evalúa la integral de $f$ a partir del punto $a$, que es único. En otras palabras, no sólo se utiliza la definición de antiderivada, como usted dijo, usted escogió una específica.