Extensión de campo $\mathbb{Q}[a]$ $a,b$ algebraica de los números enteros: mostrar $bf'(a)\in\mathbb{Z}[a]$

Question

Estoy tratando de entender un papel que parece reivindicar el siguiente:

Deje $f$ ser monic irreductible en $\mathbb{Z}[X]$, e $a$ ser una de sus raíces en $\mathbb{C}$. Deje $b$ ser un entero algebraico en $\mathbb{Q}[a]$.

Mostrar que $bf'(a) \in \mathbb{Z}[a]$.

Answer 1

El resultado de la siguiente manera a partir de los resultados que involucran los diferentes ideales de una extensión. Aquí es un esquema de las ideas principales:

Supongamos $f(X) = X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ es el mínimo polynmial de $\alpha$. Como un $\mathbb Q$-espacio vectorial, $K=\mathbb Q(\alpha)$ tiene como base $$1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}$$

Hay una positiva definida bilineal forma dada por la $$\begin{align}B:K\times K&\to \mathbb Q\\ (x,y)&\mapsto \mathrm{tr}_{K/\mathbb Q}(xy)\end{align}$$

Deje $b_0,\ldots, b_{n-1}$ ser la base dual de $1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^{n-1}$ con respecto a esta forma - es decir, la base de la $K$ que satisface $$B(b_i,\alpha^j) = \mathrm{tr}_{E/K}(b_i\alpha^j)=\delta_{ij}$$

Es posible calcular el $b_i$ explícitamente: si el polinomio $f(X)$ factorises $$f(X) = (X-\alpha)(c_{n-1}X^{n-1}+\cdots + c_0) \qquad\qquad(*)$$ entonces tenemos $$b_i = \frac{c_i}{f'(\alpha)}$$

Ahora, por definición, tenemos $$\mathbb Z[\alpha] = \bigoplus_{i=0}^{n-1}\alpha^i\mathbb Z$$ El uso de $(*)$, se puede obtener una relación de las $a_i$ en términos de la $c_i$, y muestran que

$$\mathbb Z[\alpha] = \bigoplus_{i=0}^{n-1}\alpha^i\mathbb Z=\bigoplus_{i=0}^{n-1}c_i\mathbb Z$$ así $$\mathbb Z[\alpha] = f'(\alpha)\bigoplus_{i=0}^{n-1}b_i\mathbb Z$$

Si $b\in \mathcal O_K$ es una expresión algebraica entero, en particular, $$\mathrm{tr}_{K/\mathbb Q}(b\mathbb Z[\alpha])\subset\mathrm{tr}_{K/\mathbb Q}(\mathcal O_K)\subset\mathbb Z$$ desde la traza de una expresión algebraica de enteros es un entero. Puesto que el $b_i$ son la base dual de la $\alpha^i$, se deduce que $$b \in \bigoplus_{i=0}^{n-1}b_i\mathbb Z$$ y, por tanto, $$bf'(\alpha)\in \mathbb Z[\alpha]$$