Subcampos de un campo de división usando la correspondencia de Galois

Question

Mi pregunta se refiere a las técnicas para encontrar los subcampos de un determinado campo de división usando la correspondencia de Galois. Todavía tengo dificultades con este tipo de problemas y por lo tanto haré esta pregunta aplicada a un ejemplo concreto.

Dado el polinomio irreductible $f = X^4 + 4X^2 + 9$ sobre $ \mathbb {Q}$ podemos denotar sus raíces por

$a = \sqrt {-2 + \sqrt {-5}}$

$b = - \sqrt {-2 + \sqrt {-5}}$

$c = \sqrt {-2 - \sqrt {-5}}$

$d = - \sqrt {-2 - \sqrt {-5}}$ .

El campo de división de $f$ sobre $ \mathbb {Q}$ está dada por $L = \mathbb {Q}(a,b,c,d) = \mathbb {Q}(a)$ .

Los elementos del grupo Galois son exactamente los $ \mathbb {Q}$ -automorfismos de L, y por lo tanto están determinados por la imagen de $a$ . Si definimos

$ \phi_1 = Id$

$ \phi_2 : a \mapsto b$

$ \phi_3 : a \mapsto c$

$ \phi_4 = \phi_2 \circ \phi_3 : a \mapsto d$

Los resultados de la teoría de Galois indican que el grupo de Galois de $f$ sobre $ \mathbb {Q}$ es el grupo de cuatro Klein $V_4$ que es isomorfo al producto directo de 2 $ \mathbb {Z}$ con sí mismo.

Usando la correspondencia de Galois, uno puede determinar los subgrupos de $L$ . Obviamente, los subgrupos (no triviales) de $G = Gal(f/ \mathbb {Q})$ son $H_2 = \left\ {Id, \phi_2\right\ }$ , $H_3 = \left\ {Id, \phi_3\right\ }$ y $H_4 = \left\ {Id, \phi_4\right\ }$ .

Lo que sigue es mi intento de encontrar los subcampos correspondientes de L.

El subcampo no trivial de $L$ correspondiente a $H_2$ está dada por $ \mathbb {Q}(a^2)$ . Esto se puede ver por el hecho de que $ \phi_2 (a^2) = a^2$ . Ahora, de la misma manera se podría argumentar que se puede ver fácilmente que $ \mathbb {Q}(a + c)$ y $ \mathbb {Q}(b + c)$ son los otros subcampos de $L$ que se corresponde con $H_3$ y $H_4$ respectivamente.

¿Hay una forma más general de determinar estos subcampos? Una estrategia que a veces parece funcionar (pero no en este ejemplo en particular), es determinar la $ \mathbb {Q}$ -base de L. Esta base es igual a $ \left\ {1, a, a^2, a^3 \right\ }$ . Entonces, uno puede ver que $ \phi_2 (v + wa + xa^2 + ya^3) = v - wa + xa^2 - ya^3$ para $v, w, x, y \in \mathbb {Q}$ y así $ \phi_2 (a^2) = a^2$ haciendo $ \mathbb {Q}(a^2)$ el subcampo de $L$ que se corresponde con $H_2$ . Si intento el mismo enfoque para $ \phi_3 $ por ejemplo, no consigo nada útil. Así que realmente mi pregunta es, ¿cuándo funciona este enfoque, y cuándo no, hay algún enfoque más general para este tipo de problemas?

Answer 1

El problema de encontrar los subcampos de una extensión finita de Galois se resuelve elegantemente con el teorema de la base normal. El teorema de la base normal dice que cada La extensión finita de Galois $ L/K $ admite una base normal, es decir, una base de la $ K $ -espacio vectorial $ L $ que consiste en algunos $ \beta \in L $ y su $ K $ -conjugados. Si se puede encontrar tal base, se puede utilizar una técnica análoga a la Períodos Gaussianos en la teoría de campo ciclotómico, que es en realidad un caso especial del teorema de la base normal.

Para encontrar una base normal para esta extensión, dejemos $ x = \sqrt {-2 + \sqrt {-5}} $ Entonces $ \{1, x, x^2, x^3\} $ es una base. Deje que $ \gamma = c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + c_4 x^3 $ ser un elemento. Recordando que $ 1/x = -(x^3 + 4x)/9 $ escribimos los conjugados de $ \gamma $ :

$$ \gamma_1 = \gamma = (c_1, c_2, c_3, c_4) $$ $$ \gamma_2 = (c_1, -c_2, c_3, -c_4) $$ $$ \gamma_3 = \left (c_1 + \frac {4c_3}{9}, \frac {4c_2}{3} + \frac {25c_4}{81}, \frac {c_3}{9}, \frac {c_2}{3} + \frac {4c_4}{81} \right ) $$ $$ \gamma_4 = \left (c_1 + \frac {4c_3}{9}, - \frac {4c_2}{3} - \frac {25c_4}{81}, \frac {c_3}{9}, - \frac {c_2}{3} - \frac {4c_4}{81} \right ) $$

Deseamos encontrar $ (c_1, c_2, c_3, c_4) $ de tal manera que el $ 4 \times 4 $ matriz con filas $ \gamma_1 , \gamma_2 , \gamma_3 , \gamma_4 $ es invertible. El teorema de la base normal garantiza su existencia, y la simple reducción de fila da que esta matriz es una fila equivalente a

$$ \begin {bmatrix} 2c_1 + c_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c_2 & 0 & c_4 \\ c_1 + 4c_3/9 & 0 & c_3/9 & 0 \\ 0 & 4c_2/3 + 25c_4/81 & 0 & c_2/3 + 4c_4/81 \end {bmatrix} $$

Queremos que esta matriz sea invertible. Obviamente podemos tomar $ c_1 = c_4 = 0 $ y $ c_3 = c_2 = 1 $ y por lo tanto, se deduce que podemos tomar

$$ \gamma = x + x^2 $$

como un generador para nuestra base normal. (Muchos elementos diferentes funcionarán, sólo necesitamos uno.) Ahora, los elementos primitivos para los tres subcampos se encuentran tomando la suma

$$ \sum_ { \sigma \in H} \sigma ( \gamma ) $$

donde $ H $ es el estabilizador del subcampo en el grupo Galois. Concretamente, tenemos los siguientes subcampos:

$$ \mathbf Q, \mathbf Q(x^2), \mathbf Q(x^3 + x), \mathbf Q(x^3 + 7x), \mathbf Q(x + x^2) = \mathbf Q(x) = L $$

Nota: En este caso particular, podríamos evitar todo el trabajo observando que

$$ ( \sqrt {-10} + \sqrt {2})^2 = -8 + 2 \sqrt {-20} = 4(-2 + \sqrt {-5}) $$

y por lo tanto nuestro campo de misterio $ \mathbf Q(x) $ es en realidad $ \mathbf Q( \sqrt {2}, \sqrt {-10}) $ . Sin embargo, dado que la pregunta pedía un método general, realicé el cálculo algo tedioso anterior para ilustrar el poder de este método.

Answer 2

"Si intento el mismo enfoque para $ \phi_3 $ por ejemplo, no consigo nada utilizable".

Claro que sí, sólo tienes que ver cómo se usa.

$ \phi_3 (a)=c$ pero $ac=3$ así que $ \phi_3 (a)=3a^{-1}$ .

Ahora $a^4+4a^2+9=0$ así que $a(a^3+4a)=-9$ así que $3a^{-1}=-(1/3)(a^3+4a)$ .

$ \phi_3 (a^2)=c^2=-2- \sqrt {-5}=-a^2-4$ .

Te dejaré que te ejercites $ \phi_3 (a^3)$ en términos de $1,a,a^2,a^3$ . Entonces puedes hacer ejercicio. $ \phi_3 (v+wa+xa^2+ya^3)$ y seguir desde ahí.

Otro método que a menudo funciona es este: dado cualquier subgrupo $H$ y cualquier elemento de campo $r$ el elemento $s= \sum_ { \sigma\in H} \sigma (r)$ estará en el campo fijo de $H$ . Si no tienes suerte en tu elección de $r$ Entonces $s$ podría resultar en $ \bf Q$ pero luego tratas de encontrar una opción más inteligente de $r$ .