Búsqueda de $\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}$ con y sin la Regla de L'Hospital.

Question

Por lo tanto, tenemos que encontrar la $\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}$ con y sin la Regla de L'Hospital.
Mi Trabajo: Vamos A $\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}}=L$
Tomando $\ln$ de ambos lados y llevar el exponente abajo.
$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}\ln(\frac{\sin(x)}{x})}=\ln(L)$
Pero los cambios de forma indefinida? La respuesta (en mi libro de texto) es $$\boxed{L=\frac1{e}}$$

Answer 1

Necesitas trabajar un poco más. Vamos a continuar de la siguiente manera \begin{align} \log L &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\log\left(1 + \frac{\sin x}{x} - 1\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\cdot\left(\dfrac{\sin x}{x} - 1\right)\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{\sin x}{x} - 1\right)}{\dfrac{\sin x}{x} - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{-\sin x}{x}\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{\sin x}{x} - 1\right)}{\dfrac{\sin x}{x} - 1}\notag\\ &= -1\cdot\lim_{t \to 0}\frac{\log(1 + t)}{t}\text{ (putting }t = \frac{\sin x}{x} - 1)\notag\\ &= -1\cdot 1 = -1 \end{align} Por lo tanto, tenemos $L = e^{-1} = 1/e$.

Answer 2

$$ \begin{align} \log\left(\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{\frac{\large\sin(x)}{\large x-\sin(x)}}\right) &=\frac{\sin(x)}{x-\sin(x)}\log\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)\\ &=\frac{\sin(x)}x\frac1{\color{#C00000}{1-\frac{\sin(x)}x}}\log\left(1-\left(\color{#C00000}{1-\frac{\sin(x)}x}\right)\right) \end{align} $$ Desde $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$, también tenemos $\lim\limits_{x\to0}\left(1-\frac{\sin(x)}x\right)=0$. Todo lo que necesitas es $\lim\limits_{u\to0}\frac{\log(1-u)}u=-1$.

Answer 3

Tomar el logaritmo como lo hizo, a continuación, escriba lo siguiente \begin{equation*} \frac{\sin x}{x-\sin x}\ln \left( \frac{\sin x}{x}\right) =\frac{\ln \left( \frac{\sin x}{x}\right) }{\frac{x-\sin x}{\sin x}}=\frac{\ln \left( 1+\left[ \frac{\sin x}{x}-1\right] \right) }{\frac{x-\sin x}{x}\times \frac{x}{\sin x}% }=-\frac{\ln \left( 1+\left[ \frac{\sin x}{x}-1\right] \right) }{\left[ \frac{\sin x}{x}-1\right] }\times \frac{\sin x}{x} \end{ecuación*} Ahora vamos a utilizar clásico de los límites de \begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} &=&1 \\ \lim_{u\rightarrow 0}\frac{\ln (1+u)}{u} &=&1 \end{eqnarray*} de ello se sigue que \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x-\sin x}\ln \left( \frac{\sin x}{x}% \right) =-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+\left[ \frac{\sin x}{x}-1% \right] \right) }{\left[ \frac{\sin x}{x}-1\right] }\times \frac{\sin x}{x}% =-1\times 1=-1. \end{ecuación*} Por lo tanto, $L=e^{-1}$

Answer 4

Cambio de variable: $\frac{sinx}{x} = u$. A continuación, $u\to 1$ al $x\to 0 $.

A continuación, $$ln(L) = \lim_{u\to 1} \frac{ln(u)}{1/u - 1}$$ Será entonces mucho más fácil trabajar con/sin de la regla de L'Hospital

Answer 5

Deje $y=\dfrac{\sin x}{x},$ $x\to 0\iff y\to 1.$ $$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{\sin x}{x-\sin x}} =\lim_{y\1}y^{\left(\dfrac{y}{1-y}\right)}$$ continuar a partir de aquí.