¿Cuál es la correcta analógica de $\mathbb N$ en un anillo de los números enteros?

Question

Pregunta: Vamos a $K$ ser un campo de número. El buen intuitiva motivación para el anillo de enteros $\mathcal O_K$ es que el $\mathbb Z$$\mathbb Q$$\mathcal O_K$$K$. Pero lo que desempeña el papel de $\mathbb N$$K$? Seguramente el análogo de $\mathbb N$ debe ser importante, ya que $\mathbb N$ es el objeto fundamental de estudio en la teoría de números.

Mis pensamientos: parece Que estamos en busca de un cierto semiring contenida en $K$. Vamos a llamar a $\mathbb N_K$.

La principal diferencia en mi mente entre el $\mathbb Z$ $\mathbb N$ es que el $\mathbb N$ es una "eficiente" de la versión de $\mathbb Z$ que contiene exactamente un elemento de cada órbita de la acción de la $\mathbb Z^\times$ $\mathbb Z$ por multiplicación. No podemos elegir los elementos de las órbitas wily-nily, sin embargo, desde la $\mathbb N$ que se requiere para ser cerrado bajo la suma y la multiplicación.

Por lo tanto, se espera $\mathbb N_K$ a satisfacer las siguientes propiedades:

1. $\mathbb N\subseteq\mathbb N_K$.
2. $\mathbb N_K$ es un semiring (cerrado bajo la suma y la multiplicación).
3. Para cada $\alpha\in\mathcal O_K$, no existe una única unidad de $u\in\mathcal O_K^\times$ tal que $u\alpha\in\mathbb N_K$.

Pero en general, no existe ningún subconjunto $\mathbb N_K$ la satisfacción de las propiedades 1.-3. (Véase el estudio de caso a continuación.) Así que, o hay algún otro, más fundamental de la caracterización de $\mathbb N$ que me falta, o mi pregunta tiene una respuesta negativa.

Estudio de caso: Vamos a tratar de encontrar $\mathbb N_K$ en los enteros de Gauss $K=\mathbb Q(i)$. El elemento $1+i$ o uno de sus otros tres asociados ($\alpha$$\beta$está asociado si $\alpha/\beta$ es una unidad) debe estar contenido en $\mathbb N_K$. Si $1+i\in\mathbb N_K$ lo es $$(1+i)^2 = 2i,$$ pero desde $2\in\mathbb N_K$ hemos violado la condición 3. Y si hubiéramos elegido otro asociado de $1+i$, el mismo problema habría surgido. Estas observaciones son problemáticos para la construcción de $\mathbb N_K$.

Advertencia: Es posible que no hay ningún adecuada analógico $\mathbb N_K$. Si este es el caso, una buena respuesta debe explicar por qué no.

Aleatorio: he oído decir que en el campo de función de la analogía de la teoría algebraica de números, el análogo de $\mathbb N$ es el semiring de monic polinomios.

Answer 1

Mi convicción es que el correcto analógica de $\mathbb{N}$ por un arbitrario anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ es el semiring de cero ideales. Esta construcción cumple con las versiones de sus propiedades deseadas: de hecho hay una copia de $\mathbb{N}$ (con la habitual multiplicación pero además diferente), dada por el director ideales $(n), n \in \mathbb{N}$, y la construcción también ignora las unidades. Una manera en la que esta convicción es confirmado en la práctica es que esto es lo que suma más de definir el Dedekind zeta función, que se reduce a una suma de $\mathbb{N}$ al $K = \mathbb{Q}$, de donde se obtiene la Riemann zeta función.

A mi mente, la propiedad más importante de $\mathbb{N}$ como subsemiring de $\mathbb{Z}$ aún no se ha precisado aún: $\mathbb{Z}$ tiene un orden natural con respecto a la cual se $\mathbb{N}$ es el subsemiring de elementos positivos. Este es el orden en que fundamentalmente figuras en la inducción, que es probablemente la cosa más importante que podemos utilizar$\mathbb{N}$.

No hay ninguna razón para que haya un buen análogo de este en un número arbitrario de campo, ya que entre otras cosas que no vienen equipados con natural ordenamientos. (La historia de los campos de número es realmente acerca de la generalización de los aspectos de la $\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$, no $\mathbb{N}$.) Una manera de dotar a ellos con órdenes de incrustar $K$ a $\mathbb{R}$, pero a veces (por ejemplo, cuando se $K = \mathbb{Q}(i)$) no hay ningún tipo de incrustaciones, y a veces (por ejemplo, cuando se $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$) hay más de uno.

Answer 2

Cuando el estudio de los números naturales $\mathbb{N}$ en la teoría de números, la clave de la propiedad que tienen es que no se que $\mathbb{N}$ es una "eficiente" de la versión de $\mathbb{Z}$ que contiene exactamente un elemento de cada órbita de la acción de la $\mathbb{Z}^{\times}$ $\mathbb{N}$ por multiplicación. Más bien, lo que es más importante acerca de la $\mathbb{N}$ en la teoría de los números (especialmente en multiplicativo de la teoría de números) es que cada elemento de a $\mathbb{N}$ factorises en productos de potencias de números primos (es decir, el teorema fundamental de la aritmética).

Así como Zhen Lin se ha comentado, el número de campo análogo de números naturales son parte integral de los ideales, debido a que cumplen la misma factorización propiedades. Del mismo modo, integral ideales tienen un orden dado por la norma absoluta, lo que permite generalizar la noción de sumar más de la primera $n$ números naturales, sumando más integral de los ideales de norma absoluta en la mayoría de las $n$.

Usted puede estar interesado en leer acerca de Beurling de los números primos, que generalizar aún más por el pensamiento de "números naturales" como la multiplicativo semigroup generados por los productos de potencias de un conjunto infinito de "primos", junto con un valor absoluto. Es un área activa de estudio para ver qué condiciones son necesarias en estos generalizada de los números primos que aún tiene un análogo de la forma del teorema de los números primos.