Cual de los siguientes grupos son isomorfos (TIFR 2014)?

Question

Cual de los siguientes grupos son isomorfos?

(a) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$

(b) $\mathbb{R}^*$ $\mathbb{C}^*$

(c) $S_3\times \mathbb{Z}_4$ $S_4$

(d) $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_4$

Aquí la opción (d) no es correcta porque uno no es cíclico y otro es cíclico. También se $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ espacio vectorial isomorfo (sobre el campo $\mathbb{Q}$). Pero no quiero concluir respuesta correcta que me ayude!

Answer 1

(a) Como se ha observado, estos son isomorfos como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales. A fortiori, su subyacente aditivo grupos son isomorfos.

(b) el Recuento de las soluciones de $x^4=1$ $\mathbb{R}^*$ resp. $\mathbb{C}^*$. (Como alternativa, busque en el mapa de $x \mapsto x^2$ y verificación para surjectivity.)

(c) La abelianization de $S_3 \times \mathbb{Z}/4$$\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/4$, pero el abelianization de $S_4$$\mathbb{Z}/2$. (Alternativamente, se puede observar que no existe epimorphism $S_4 \to \mathbb{Z}/4$ desde el núcleo podría contener el colector subgrupo $A_4$, pero solo le $4!/4=6$ elementos.)

(d) Usted razón, $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ no es cíclico.