Esfera simpléctica 2

Question

Consideremos la esfera $S^2\subset\mathbb{R}^3$ en coordenadas cilíndricas $(\theta, z)$ (lejos de los postes $z=\pm 1$ ) con estructura simpléctica $\omega=d\theta\wedge dz$ . Quiero demostrar que el campo vectorial $X=\partial_\theta$ es hamiltoniano. Es decir, la contracción de $\omega$ por $X$ denotado $i_X\omega$ es exacta.

Una forma es sencilla: dado que el primer grupo de Rham de la esfera es trivial, la 1-forma $i_X\omega$ al estar cerrado, tiene que ser exacto.

Pregunta 1 -- ¿por qué es $i_X\omega$ ¿Cerrado?

Pregunta 2 -- Supongamos que no quiero utilizar mis conocimientos sobre los grupos de De Rham y quiero demostrar directamente ("a mano alzada") que $i_X\omega$ es exacta. ¿Cómo hacerlo correctamente? Aquí está mi trabajo:

Desde $X=\partial_\theta$ obtenemos $$ i_X\omega(\partial_\theta)=\omega(X,\partial_\theta)=0 \\ i_X\omega(\partial_z)=\omega(X,\partial_z)=1 $$ Por lo tanto $i_X\omega=dz$ y por tanto es exacta, al menos localmente en $U=S^2\setminus\{z=\pm 1\}$ .

Ahora bien, para demostrar la exactitud global tendría que encontrar un cambio de cartas adecuado y comprobar que la transformada $\omega$ es exacta alrededor de z=1 y z=-1.

Si todo lo que he dicho es correcto, ¿cuál sería un cambio de cartas adecuado? O, ¿hay una manera más fácil?

Answer 1

Lejos de los polos $z = \pm 1$ tenemos $$\iota_X \omega = \iota_{\partial_\theta} (d\theta \wedge dz) = (d\theta \wedge dz)(\partial_\theta, -) = dz$$ por la definición del producto cuña y $d\theta$ , $dz$ . Por lo tanto $X$ tiene función Hamiltoniana $$H(\theta, z) = z$$ lejos de $z = \pm 1$ como $$\iota_X \omega = dH.$$ Tenga en cuenta que $\partial_\theta = 0$ en los polos $z = \pm 1$ y los polos son también puntos críticos de la función altura $H = z$ por lo que también tenemos $$\iota_X \omega = dH$$ en $z = \pm 1$ (simplemente porque $0 = 0$ ). Por lo tanto $\partial_\theta$ es un campo vectorial hamiltoniano en $S^2$ con función hamiltoniana $H = z$ .