Asumir wlog que $ x_1 \geq x_2 \geq \dots \geq x_n $.
Veamos primero el caso especial donde la $x_i$'s de a pares distintos,
es decir, $ x_1 > x_2 > \dots > x_n .$
El conjunto $$ S = \{ (y_1,y_2,\dots,y_n) : y_i \in [0,1], \sum y_i = r \}$$ is compact, and hence there is a $y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \in S$ with $ y^Tx = \sup_{w \S} w^Tx$.
Vamos a mostrar en este punto $y_i = 1$$ 1 \leq i \leq r $.
Por si $0 \leq y_j < 1$, para algunas de las $ 1 \leq j \leq r $,$\sum_{i=1}^r y_i < r$$ \sum_{i=r+1}^{n} y_i = r - \sum_{i=1}^r y_i > 0$. De modo que existe un $k$, $ r+1 \leq k \leq n$, con $y_k > 0$. La elección de $ \epsilon > 0$ tal que $ y_j + \epsilon \leq 1$$ y_k - \epsilon \geq 0$, y dejando $z = (y_1, \dots, y_{j-1},y_{j}+\epsilon, y_{j+1}, \dots , y_k - \epsilon , \dots , y_n )$, $z \in S$ $z^{T}x - y^Tx = (x_j - x_k ) \epsilon > 0.$ Esto contradice la maximality de $y$ y lleva a la conclusión de que en un máximo de $y_1 = y_2 = \dots = y_r = 1$ y un punto en $S$ es único. Por lo tanto el resultado se mantiene para $x$ con pares de elementos distintos, que es para tal $x$, $\sup_{w \in S} w^Tx = \sum_{i=1}^{r} x_i$.
Ahora relaje los pares distintos de la asunción y dado cualquier $x = (x_1,x_2, \dots, x_n)$ $x_1 \geq x_2 \dots \geq x_n$ vamos, $x^{k} = (x_1, x_2 - \frac{1}{k}, x_3 - \frac{2}{k} , \dots , x_{n} - \frac{n-1}{k} )$, las coordenadas de $x^{k}$ son parejas distintas y $x^k \to x$$k \to \infty$, e $x_1^k > x_2^k > \dots > x_n^k$. A partir de los resultados anteriores tenemos por cualquier $y \in S$,
$$ y^Tx^k \leq \sum_{i=1}^{r} x_i^k,$$ letting $k \to \infty$ hemos terminado.
