En finitely generado R-módulo de

Question

Deje $M$ ser un finitely generado R-módulo de e $I$ a ser un ideal de a $R$ tal que $IM=M$. Entonces demostrar que existe $a\in I$ tal que $(1-a)M=0$.

Gracias

Answer 1

Este es un caso especial de una generalización de la de Cayley-Hamilton teorema. Se puede demostrar de la siguiente manera:

Deje $(m_1,\ldots,m_n)$ ser un sistema de generación de $M$. Desde $M = IM$, podemos escribir $m_j = \sum_i a_{ij} m_i$$a_{ij} \in I$. Considerando $M^n$ $\operatorname{Mat}_n(R)$- módulo de una manera obvia, tenemos $$(1_n-A) \left(\begin{matrix}m_1\\ \vdots \\ m_n \end{matrix}\right) = 0$$ donde $A = (a_{ij})$. Multiplique esto con la matriz adjunta de a $(1_n-A)$ para obtener $$\det(1_n -A)M = 0.$$ Ahora expandir el determinante el uso de la Regla de Leibniz. Esto le da un $a \in I$$(1-a)M = 0$.

Answer 2

Esta es una versión de Nakayama del lexema, como se indicó en la declaración 1 aquí, y que se puede encontrar una prueba en millones y millones de sitios en el caso de la búsqueda para "prueba de Nakayama del lexema". (Que incluye este enlace).

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Para ser claros, la declaración que dice que "No existe un $r$, $1-r\in I$ y $fM=0$. Si usted toma $a=1-r$, usted tiene su $a$.