¿Cómo es el valor de $\pi$ ( Pi ) en realidad se calcula?

Question

Cuando yo era niño, me enseñaron $\pi$ (Circunferencia/Diámetro) es un número irracional y se puede aproximar a $22/7$ pero $= 3.(142857)(\ldots)$.

Pero, ¿de dónde este valor proviene de?

En resumen ¿Cómo se derivan $\pi$?

Answer 1

No es la famosa fórmula $$\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} \pm \cdots.$$ Por desgracia, esto converge lentamente. (Si calcular el $n$ términos y multiplicar por $4$, usted obtiene en aproximadamente el $1/n$ del valor de $\pi$; por lo que para obtener 3 decimales de precisión, tendrás que suma algo así como el primer millar de términos de la serie.)

No es la fórmula Machin $$\dfrac{\pi}{4} = 4\arctan \dfrac{1}{5} - \arctan \dfrac{1}{239},$$ que puede ser combinado con una serie infinita fórmula para $\arctan$ proporcionar un mucho más rápidamente convergente serie infinita que puede ser usada para calcular $\pi$ para el número de dígitos de precisión.

La entrada de la Wikipedia proporciona más detalles acerca de estos y otros métodos, tanto históricos como contemporáneos, para el cómputo de los $\pi$.

Answer 2

Esta fórmula establecida por Ramanujan

$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$$

y esta modificación nombrado después de Chudnovsky

$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$$

es un árbol de hoja perenne real para $\pi$ computación.

Answer 3

Cuando yo era niño, me enseñaron este divertido experimento:

Llevar un hilo de longitud conocida, $l$ y se envuelve como un círculo. Usted puede conseguir fácilmente el diámetro de la $d$ (medición), a continuación, $\Pi = \frac{l}{d}$

Repetir el experimento y obtendrá aproximadamente los mismos valores.

Answer 4

Mediante el cálculo de la suma de Riemann para aproximar la integral de la $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx$, uno puede conseguir una aproximados valor de $\frac{\pi}{4}$.

Y si tomamos $x_{n}$ $y_n$ ramdonly(en forma uniforme) del intervalo de $[0,1]$, entonces vamos a $S_N = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \mathbf{1}_{\{x_n^2 + y_n^2 \leq 1\}}$, $S_N$ convergen a $\frac{\pi}{4}$ al $N \to \infty$

Answer 5

Generar $N$ $(x_i,y_i)$ distribuidos de manera uniforme en una unidad de la plaza con el vértice de coordenadas $(0,0),(0,1),(1,1),(1,0)$. Contar el número de puntos de satisfacciones $x_i^2+y_i^2\leq1$, que se denota por a $n$. Entonces pi puede ser calculada aproximadamente por $$\frac\pi4\approx\frac nN\quad\text{for large $n$}$$