Detalles de encolado de las poleas en una portada

Question

Estoy seguro de que esta es una pregunta simple, pero realmente me siento no poder pensar bien en el momento y esta es la que me molesta. Estoy haciendo Ejercicio 1.22 de Hartshorne. Es el clásico encolado de las poleas en una portada dada la cocycle condición de que se trate. En particular, tenemos un espacio de $X$ y una cubierta para este espacio de $\{ U_{i} \}_{i \in I}$. Además, se nos da una familia de poleas indexados por el mismo conjunto $I$, $\{ \mathcal{F}_{i} \}_{i \in I}$ en cada una de las $U_{i}$. Se nos da isomorphisms $$ \phi_{ij}: \mathcal{F}_{i}|_{U_{i} \cap U_{j}} \longrightarrow \mathcal{F}_{j}|_{U_{i} \cap U_{j}}, $$ junto con el llamado cocycle condición $$ \phi_{ik} = \phi_{ik} \circ \phi_{ij} \quad \text{en} \quad U_{i} \cap U_{j} \cap U_{k}. $$ La tarea es construir una gavilla en $X$ compatible con las poleas. Me han salido adelante y hacer los pasos obvios de la definición de una base de toma de abrir todos los conjuntos de contenidos en uno de los $U_{i}$ etc. Yo, a continuación, se define una gavilla $\mathcal{G}$ sobre esta base, y esto está bien definido ya que si hay alguna $V$$U_{i}$$U_{j}$$i \neq j$, a continuación, a través del isomorfismo $\phi_{ij}$, tenemos $$ \mathcal{F}_{i}(V) \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} \mathcal{F}_{j}(V) $$ Mi entendimiento es que para hacer los mapas de restricción de trabajo, necesario para invocar a la cocycle condición. Mi problema es que yo no puedo ver exactamente donde. Parece que el isomorfismo es suficiente por sí sola. La parte más frustrante es que todos los recursos miro (y hay un montón ya que este es un ejercicio común) simplemente dice que "las restricciones son compatibles debido a la cocycle condición" o "esto está bien definida debido a la cocycle condición" o algo similar. Nada parece explícitamente establecer los cocyle condición se invoca, y lo que se rompe cuando no lo es. Es alguien capaz de arrojar algo de luz sobre esto? Aparte de este pequeño paso que doy, siento que entender el resto de él por completo, pero siento que esto es algo vital para no entender.

Gracias

Answer 1

Personalmente, me parece más intuitivo para definir el pegado hasta gavilla $\mathcal F$ como este:

Para cada conjunto abierto $V \subset X$, podemos definir el grupo de secciones $\mathcal F(V)$ a un conjunto formado por todas las tuplas $(s_i)_{i \in I}$, donde cada una de las $s_i$ es una sección en $\mathcal F_i(V \cap U_i)$, y donde el $s_i$'s están obligados a obedecer la compatibilidad de la condición de: $$\phi_{ij}(s_i|_{V \cap U_i \cap U_j}) = s_j |_{V \cap U_i \cap U_j} \ \ \ \ \ (\ast)$$ for all $i, j \I$. The group addition on $\mathcal F(V)$ es el obvio.

Como lo que yo puedo decir, el $\mathcal F$ que me define es garantía de una gavilla, independientemente de si imponemos la cocycle condición. Viene con un natural mapa de restricción, lo que es un presheaf, y también obedece a todo el encolado de las condiciones necesarias para ser una gavilla. No creo que el cocycle condición es necesaria para comprobar ninguna de estas cosas.

Sin embargo, no es suficiente para demostrar que nuestra $\mathcal F$ es una gavilla. También debemos satisfacernos a nosotros mismos de que la restricción $\mathcal F|_{U_k}$ realmente es isomorfo a la $\mathcal F_k$ con que empezamos, para cada una de las $k \in I$. Es aquí que el cocycle condición es necesaria.

Es fácil escribir lo que el isomorfismo $\psi : \mathcal F_k \overset{\cong}\to \mathcal F|_{U_k}$ debe ser. Dado un abrir $V \subset U_k$ y en vista de una sección de $s \in \mathcal F_k$, nos gustaría definir su imagen en $\psi$ $$ \psi(s) = (\phi_{ki}(s|_{V \cap U_i}))_{i \in I}$$ Sin embargo, tenemos que estar seguros de que la tupla $(\phi_{ki}(s|_{V \cap U_i}))_{i \in I}$ representa una bien definida elemento de $\mathcal F(V)$. En particular, se debe verificar que el $(\phi_{ki}(s|_{V \cap U_i}))_{i \in I}$ obedece a la condición de $(\ast)$, el cual establece que $$ \phi_{ij} \circ \phi_{ki}(s|_{V \cap U_i \cap U_j}) = \phi_{kj}(s|_{V \cap U_i \cap U_j})$$ para cualquier $i, j \in I$. Esto es cierto en virtud de la cocycle condición.