Definición de $T_1$ Espacio en la prueba de Kolmogorov-Fomin Introductorio de Análisis Real del libro

Question

En la página 85 del libro se lee la siguiente definición:

Definición 4. Supongamos que para cada par de puntos distintos $x$ $y$ en un espacio topológico $T$, hay un barrio $O_x$ $x$ y un barrio de $O_y$ $y$ tal que $x \in O_y, y \in O_ x$. A continuación, $T$ es dijo que para satisfacer el primer axioma de la separación, y se llama $T_1$- espacio.

Pero en otras fuentes, tales como Mathworld, definen

$T_1$-separación axioma : Para cualquier par de puntos $x,y \in X$ existe dos conjuntos de $U,V$ tal que $x\in U$$y \notin U$ , y $y\in V$ $x \notin V$.

Son ambas definiciones equivalentes?

Answer 1

Es sin duda un error tipográfico. "$x\notin O_y$" y "$y\notin O_x$" estaba destinado en lugar de "$x\in O_y$" e $y\in O_x$". (Esto se usa en el Teorema inmediatamente después de la definición).

Con esta corrección, los dos nociones coinciden (trivialmente).

Pero para responder directamente a usted, tenga en cuenta que cada espacio topológico $T$ cumple los criterios como está escrito: simplemente tome $O_y=O_x=T$.

Answer 2

Google

Prueba de Kolmogorov Fomin fe de erratas

y encontrar mi fe de erratas hojas todavía existe en internet. (Sí, este está en la lista.) K & F es un buen libro para una introducción a los temas, además de que tiene un gran precio.