Tratando de demostrar una identidad trigonométrica

Question

He estado tratando de resolver desde hace bastante tiempo, pero yo todavía no lo entiendo ¿por qué es cierto.

La ecuación original es: \begin{equation*} 1-\frac{\sin{^2}\theta}{1-\cos\theta}=-\cos\theta. \end{ecuación*} Mi trabajo hasta el momento: \begin{equation*} \frac{1-\cos\theta}{1-\cos\theta}-\frac{\sin{^2}\theta}{1-\cos\theta} =\frac{1-\cos\theta-\sin{^2}\theta}{1-\cos\theta} =\frac{(1-\sin{^2}\theta)-\cos\theta}{1-\cos\theta} \\ =\frac{\cos{^2}\theta-\cos\theta}{1-\cos\theta} =\frac{\cos\theta(\cos\theta-1)}{1-\cos\theta}. \end{ecuación*} He visto en algunos sitios que esto es igual a $-\cos\theta$ pero no veo por qué no.

Answer 1

$\textbf{hint}$ $$ \cos\theta -1 = -(1-\cos\theta) $$

Answer 2

Estás muy cerca. Desde donde lo dejó

$\frac{\cos\theta(\cos\theta-1)}{1-\cos\theta}$

=$\frac{\cos\theta(-1)(1-\cos\theta)}{1-\cos\theta}$

=${\cos\theta(-1)}$

=${-\cos\theta}$

Answer 3

Más corto: $$1-\frac{\sin{^2}\theta}{1-\cos\theta}=-\cos\theta\iff 1+\cos\theta=\frac{\sin{^2}\theta}{1-\cos\theta}\iff 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta.$$