¿Análisis complejo en la esfera de Riemann?

Question

A todos: Este es mi primer post. Perdonad si rompo algún protocolo.

Sé algo de análisis complejo y cómo saber cuándo una función de $\mathbb C \rightarrow\mathbb C$ . Pero me confunde cuando oigo hablar de funciones analíticas o meromorfas desde (lo siento, no conozco la notación) la Esfera de Riemann a sí misma. Creo que esto tiene algo que ver con la Geometría Algebraica y las Variedades, de las que sé muy poco. ¿Podría alguien explicar cómo se determina si/cuando una función de la Esfera de Riemann a sí misma es meromorfa o analítica? He visto algo de Geometría Diferencial en la que componemos funciones con mapas gráficos para determinar si una función (de una variedad real a otra variedad real) es diferenciable, o $C^k$ . ¿Es eso lo que hacemos para las funciones complejas, y, si es así, hay algunos teoremas para evitar hacer la composición de la tabla? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esta es la explicación más realista que se me ocurre: ¡nada de geometría algebraica maligna, nada de variedades!
Permítanme denotar por $\mathbb P^1$ la esfera de Riemann y escribir $\mathbb P^1=\mathbb C\cup \lbrace\infty \rbrace$ .
Supongamos que nos dan un mapa $f:\mathbb P^1 \to \mathbb P^1$ y quieres investigarlo cerca de $a\in\mathbb P^1$ .

Primer caso: $a\neq\infty , f(a) \neq \infty$
Entonces, por restricción se obtiene $f_0: U\to \mathbb C$ para algún barrio $U$ de $a$ y tú ya puedes encargarte de eso.

Segundo caso: $a\neq\infty , f(a) =\infty$
El comportamiento de $f$ en $a$ es el mismo que el de $g=1/f$ y hemos vuelto al primer caso.
Ejemplo: $f(z)=1/(z-2)^5$ con $a=2$ . Aquí $g(z)=(z-2)^5$ . Decimos que $f$ toma valor $\infty$ con multiplicidad $5$ en $z=2$ .

Tercer caso: $a= \infty , f(a) =\infty$
Sustituir $f$ por $h(z)= \frac{1}{f(\frac {1}{z})}$ y se obtiene una función $h:U\to \mathbb C$ cuyo comportamiento a cero es por definición el comportamiento de $f$ en $\infty$ .
Ejemplo: si $f(z)=(z-2)^5$ entonces $h(z)=\frac{z^5}{(1-2z)^5}$ y decimos que $f$ tiene multiplicidad $5$ en $\infty$ ya que $\frac{z^5}{(1-2z)^5}$ tiene un cero de orden $5$ a cero.

Cuarto caso: $a= \infty , f(a) \neq \infty$
Sustituir $f(z)$ por $f(1/z)$ . Me saltaré los detalles.

Observación importante
No hay mapas meromórficos genuinos $\mathbb P^1 \to \mathbb P^1$ : todo mapa meromorfo de este tipo es realmente holomorfo. Lo mismo ocurre con los mapas meromórficos entre superficies compactas de Riemann. Esto es un hecho subestimado y a veces malinterpretado. De hecho, ¡escribí esta respuesta principalmente para enfatizar este sutil punto!

Editar Para responder a algunos comentarios, permítanme aclarar la observación anterior.
Dado un subconjunto abierto conectado $X \subset \mathbb C$ o incluso una superficie de Riemann arbitraria $X$ (compacto o no, conectado por definición) existe una correspondencia biyectiva entre :
1) El conjunto de funciones meromorfas $f$ en $X$ .
2) El conjunto de mapas holomorfos $F: X\to \mathbb P^1$ que no son constantemente iguales a $\infty$
La correspondencia se asocia a $f$ su extensión $F$ obtenido al decretar que en un polo $p\in X$ de $f$ definimos $F(p)=\infty$ .
He entrado en esta discusión porque Alphonse escribió en su pregunta "funciones meromorfas de (lo siento, no conozco la notación) la Esfera de Riemann a sí misma". Lo que quiero decir es que sólo se debe hablar de mapas holomórficos de de la esfera de Riemann a sí misma.
Por último, nótese que la correspondencia biyectiva anterior sólo es válida en dimensión 1: no se puede considerar la función meromorfa $f(z,w)=z/w$ en $\mathbb C^2$ como un mapa holomórfico $F:\mathbb C^2 \to \mathbb P^1$