Estoy atrapado en el siguiente ejercicio de Hatcher sección 3.3:
14. Deje $X$ ser la reducción de la cuña de círculos en el Ejemplo 1.25, el subespacio de $\mathbb{R}^2$ consta de los círculos de radio $1/n$ y el centro de la $(1/n, 0)$ $n = 1, 2, \dots$
(a) Si $f_n : I \to X$ es el bucle basado en el origen de bobinado de una vez alrededor de la nº círculo, muestran que el infinito producto de los conmutadores $[f_1, f_2] [f_3, f_4]\dots$ define un bucle en $X$ que es trivial en $H_1(X)$. [Ejercicio 12.]
Yo estoy bien con el hecho de que $[f_1,f_2][f_3,f_4]\cdots$ define un bucle en $X$, pero no saben cómo demostrar que es no trivial en $H_1(X)$.
He intentado siguiendo la sugerencia. Ejercicio 12 es el siguiente:
12. Como una expresión algebraica de la aplicación del problema anterior, muestran que en un grupo libre $F$ con base $x_1, \dots, x_{2k}$, el producto de los conmutadores $[x_1,x_2]\dots[x_{2k-1},x_{2k}]$ no es igual a un producto de menos de $k$ conmutadores $[v_i,w_i]$ de los elementos de la $v_i, w_i \in F$.
Así, desde el hecho de que existe una retracción $X\to\bigvee_{i=1}^n S^1$ todos los $n\in \Bbb N$, tenemos que la inclusión de $i:\bigvee_{i=1}^n S^1\to X$ es inyectiva en a $\pi_1$. Por lo tanto, desde el ejercicio 12, podemos concluir que los bucles en $X$ definido por el conmutadores $[f_1,f_2]\cdots[f_{2k-1},f_{2k}]$ no homotópica a los bucles en $X$ expresada por menos de $k$ conmutadores.
¿Cómo podemos utilizar para demostrar la reclamación original? ¿Cómo hacemos para, finalmente, pasar a $H_1$? Por supuesto, todos finito productos de conmutadores son todavía trivial en $H_1(X)$, así que realmente no sé qué hacer con la conclusión anterior.
