Función que satisface $\int_{2^{-n}}^{2^{-(n+1)}} f(x) dx = \int_{2^{-(n+1)}}^{2^{-(n+2)}} f(x) dx$

Question

Me preguntaba si alguien sería capaz de ayudarme a encontrar una función que satisface esta condición:

$$\int_{2^{-n}}^{2^{-(n+1)}} f(x) dx = \int_{2^{-(n+1)}}^{2^{-(n+2)}} f(x) dx$$

Necesita para ser capaz de hacer esto en el intervalo [0, 1].

Yo he probado un par de funciones que se parecen a lo que yo estoy buscando, como $f(x) = \frac{x}{x-1}$ o $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$, sin embargo ninguno de ellos ha sido la solución.

Agradecería ayuda sobre este problema, estoy teniendo algunos problemas para averiguar por dónde empezar.

Answer 1

Diferenciar ambos lados con respecto a $n.$ Esto conduce a una relación de recurrencia $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4 a_n=0,$ donde $a_n = f(2^{-n}).$ La solución general de la relación de recurrencia es $a_n = c_1 2^n + c_2 n 2^n.$ puede recuperarse $f(x)=1/x$ como anteriormente en el este de moda. La otra solución que conduce a $f(x) = \frac{\log x}{x},$ para que las integrales se diferencian por un no-cero constante.

Answer 2

Definir $$f(x) = k \cdot 2^{n+1} \,\,\,\, \forall x \in \left(\dfrac1{2^{n+1}},\dfrac1{2^{n}}\right]$$ donde $k \in \mathbb{R}$. Entonces tenemos $$\int_{2^{-n}}^{2^{-(n+1)}} f(x) dx = k \cdot 2^{n+1} \cdot \left(\dfrac1{2^{n+1}} - \dfrac1{2^n}\right) = -k$$ Usted puede obtener la continuidad o la suavidad de cualquier orden por la definición de la función a trozos en los intervalos de $\left(\dfrac1{2^{n+1}},\dfrac1{2^{n}}\right]$, respetando la condición de contorno para cada intervalo.

Answer 3

Pruebe la función $f(x)=\frac{1}{x}$.

Esto no está definido en $0$, pero usted puede definir arbitrariamente allí. Observe que

$$\int_{2^{-(n+1)}}^{2^{-n}} \frac{1}{x} \;dx = \log 2$$ which doesn't depend on $$n.