Tengo una pregunta sobre la idea básica de la homología singular. Mi pregunta se expresa mejor en el contexto, así que considere el grupo de homología de 1 dimensión de la línea real $H_1(\mathbb{R})$ . Este grupo es cero porque la recta real es homotópicamente equivalente a un punto. El grupo de cadenas $C_1(\mathbb{R})$ contiene todas las combinaciones lineales formales finitas de mapas continuos del intervalo $[0,1]$ en $\mathbb{R}$ . Uno de estos mapas (llámese $\mu$ ) mapea el intervalo a lo largo de algún camino que comienza y termina en cero. (Para mis propósitos no importa cómo exactamente.) Este mapa es un ciclo, es decir, está contenido en el núcleo de $\partial_1:C_1 \rightarrow C_0$ porque comienza y termina en el mismo punto. Debe ser que también es un límite, es decir, contenido en la imagen de $\partial_2:C_2 \rightarrow C_1$ porque de lo contrario representaría una clase de homología no nula en $H_1$ . Mi pregunta es sobre cómo y por qué es exactamente un límite.
Tengo una comprensión intuitiva de por qué es un límite que no parece funcionar cuando lo traduzco al lenguaje formal, y una manera formal de mostrar que es un límite que no parece captar el corazón de la intuición. Mi referencia sobre las definiciones formales es el libro de Allen Hatcher Topología algebraica .
Intuitivamente, $\mu$ mapas $[0,1]$ a un bucle y luego lo mete en la línea real (es decir $\mu$ factores a través de $S^1$ ). El mapa del bucle a la línea podría extenderse a un disco sin perder la continuidad, ya que de todas formas todo el conjunto se aplasta. Un triángulo podría ser mapeado homeomórficamente al disco, y esto nos daría un mapa $\zeta: \Delta^2 \rightarrow \mathbb{R}$ de los cuales, al menos intuitivamente, $\mu$ es el límite. Sin embargo, formalmente, $\partial_2 (\zeta)$ es la suma formal de la restricción de $\zeta$ a cada una de sus aristas; es por tanto una suma formal de tres mapea desde el intervalo a la recta real, y por tanto no es (formalmente) igual a $\mu$ .
Formalmente, puedo definir un mapa $\alpha : \Delta^2 \rightarrow \mathbb{R}$ de un triángulo a la línea real que sí tiene $\mu$ como límite, pero estoy muy insatisfecho con esta construcción porque implica detalles que se sienten esencialmente extrínsecos a la intuición anterior. Dejemos que los vértices de $\Delta^2$ ser etiquetados como 0, 1, 2. Mapa $\Delta^2$ a un disco de la siguiente manera: asignar el vértice 0 al centro del disco; las aristas $[0,1]$ y $[0,2]$ a un radio de la misma manera (para que las restricciones de $\alpha$ a las dos aristas son iguales); la arista $[1,2]$ alrededor de la circunferencia; y extender el mapa al interior del triángulo de la manera obvia. A continuación, mapeamos el disco a la línea real como en el caso anterior; la restricción a la circunferencia es $\mu$ . Ahora, el mapa de límites $\partial_2$ por los mapas de definición $\alpha$ a $\alpha |_{[0,1]} +\alpha |_{[1,2]}-\alpha |_{[0,2]}$ . Pero $\alpha |_{[0,1]}$ y $\alpha |_{[0,2]}$ son iguales y $\alpha |_{[1,2]}$ es igual a $\mu$ Así que $\partial_2(\alpha)=\mu$ .
Mi pregunta es la siguiente: ¿es correcto que la construcción intuitiva de $\zeta$ no proporciona un elemento de $C_2$ con $\mu$ como límite? ¿Es correcto que para conseguir $\mu$ como límite hay que utilizar una construcción como la de $\alpha$ ¿arriba? Si es así, ¿se intuye que $\mu$ ¿es un límite porque es un bucle que puede extenderse a un disco antes de que se ahogue mal? ¿El hecho de que $\mu$ es un límite que realmente cuelga de la convención de signos en la definición de $\partial_2$ ? Si es así, ¿puede darme una razón de por qué esta convención de signos funciona para garantizar que dicha construcción siempre existirá cuando un ciclo "parece que debería ser" un límite?
EDITAR:
Debo añadir, después de leer algunas respuestas muy útiles pero en cierto modo insatisfactorias para mí, que no sólo me interesa el caso unidimensional. (Véase mi comentario sobre la respuesta de MartianInvader).
EDITAR (7/12):
Gracias a todos por la ayuda. Mi inmediata y aguda sensación de disonancia cognitiva ha sido resuelta, así que marco la pregunta como respondida. Tengo una sensación residual de no haber entendido el cuadro completo, pero espero que esto se resuelva con el procesamiento lento de más teoremas (como la invariancia homotópica de la homología, y el mapa de Hurewicz, gracias Matt E y Dan Ramras).
