Deje $\mathbb S$ ser ordenada campo de cardinalidad mayor que $\mathbb R$. Deje $\mathbb S^*$ ser la finalización de $\mathbb S$ a través de Dedekind cortes. Ahora es bien sabido que el $\mathbb R$ es el completo único ordenado de campo. Así, en lo que fue no $\mathbb S^*$ menos de ser un completo ordenado de campo, y por qué?
Respuestas
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La existencia de inversos aditivos falla en $\mathbb{S}^*.$
Un miembro de $\mathbb{S}^*$ (a Dedekind corte en $\mathbb{S})$ es un subconjunto a de $\mathbb{S}$ tal que $A$ tiene un límite superior, $A$ no tiene menos de límite superior, y $(\forall x\in A )(\forall y \lt x )(y\in A).$ Si $A$ $B$ son Dedekind cortes, a continuación, $A+B$ se define a ser $\{x \mid (\exists a\in A)(\exists b\in B)(x\lt a+b)\},$ que se puede ver es un Dedekind cortarse a sí mismo.
Se puede comprobar que $\{x \mid x \lt 0\}$ es un Dedekind corte, y que es la identidad aditiva en $\mathbb{S}^*.$
Si $\mathbb{R}$ es un subconjunto de a $\mathbb{S},$ a continuación hay algunos de los miembros de $\mathbb{S}$ mayor que todos los miembros de $\mathbb{R}$ (demostrando de esta forma, se utiliza la orden de campo axiomas en $\mathbb{S}).$ Se sigue que $A=\{x\in\mathbb{S}\mid (\exists r\in\mathbb{R})(x\lt r)\}$ es un Dedekind corte.
El elemento $A$ no tiene inverso aditivo en $\mathbb{S}^*,$ que se puede ver de la siguiente manera:
Suponga $A$ tenía un inverso aditivo $B.$ Entonces no existe $a_0\in A$ $b_0\in B$ tal que $-1 \lt a_0+b_0.$ Por la definición de $A,$ hay algo de $r_0\in \mathbb{R}$ tal que $a_0\lt r_0,$ y de ello se sigue que $-1\lt r_0+b_0.$ Pero luego hemos $r_0+1\in A,$ $b_0$ en $B,$ y la suma de los dos es no negativo, lo cual es una contradicción.
Tsu Jan
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41
Usted puede estar interesado en saber que hay un tipo de terminación de $\mathbb{S}$ similar a Dedekind finalización:
En lugar de considerar cada corte $(A,B)$, sólo toma buena cortes: los cortes de $(A,B)$ donde para cualquier $0<\varepsilon \in \mathbb{S}$, $(a,b) \in A \times B$ tal que $b-a < \varepsilon$.
Entonces usted realmente conseguir una densa ordenado de extensión de campo $\widetilde{\mathbb{S}}$, la cual se completa en el sentido de que no tiene la adecuada densa ordenado de extensión de campo. Este es el mismo como la realización de $\mathbb{S}$ el uso de Cauchy $\lambda$-secuencias en las $\lambda$ es el menor cardinal de un subconjunto de a $\mathbb{S}$ sin límites. Este es también el mismo que el de completar $\mathbb{S}$ visto como un ordenado campo con su canónica estructura uniforme.
