Algunas preguntas sobre$S^3 \times \mathbb{R}P^2$ y$\mathbb{R}P^3 \times S^2$.

Question

Considere la posibilidad de $S^3 \times \mathbb{R}P^2$$\mathbb{R}P^3 \times S^2$. Ambos son suaves $5$-colectores.

1. ¿Por qué ambos tienen un grupo fundamental de la $\mathbb{Z}/2$?

Progreso. Puedo mostrar que $\pi_1(X \times Y)$ es isomorfo a $\pi_1(X) \times \pi_1(Y)$ si $X$ $Y$ trayectoria-conectado.

2. ¿Por qué ambos tienen la universalización de la cobertura $S^3 \times S^2$?

Progreso. Me puede mostrar que la universalización de la cobertura de $\mathbb{R}P^n$$S^n$.

3. ¿Por qué tienen los diferentes grupos de homología?

Progreso. Sólo $\mathbb{R}P^3 \times S^2$ es orientable desde $\mathbb{R}P^3$ es orientable, sino $\mathbb{R}P^2$ no está, así que tal vez tienen diferentes valores en $H_k$ algunos $k$?

Answer 1

1. Los cuatro espacios trayectoria-conectado, y uno ha $\pi_1(\mathbb{RP}^2) = \pi_1(\mathbb{RP}^3) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ mientras $\pi_1(S^2) = \pi_1(S^3) = 0$.

2. Si $\tilde X \to X$ $\tilde Y \to Y$ son universales cubre, entonces el producto de a $\tilde{X} \times \tilde{Y} \to X \times Y$ es la cobertura universal de $X \times Y$. Esto es más o menos inmediato: el producto de cobertura de los mapas es una cubierta de mapas, y $\pi_1(\tilde X \times \tilde Y) = \pi_1(\tilde X) \times \pi_1(\tilde Y) = 0 \times 0 = 0$.

3. Si usted recuerda, una cerrada $n$-colector $M$ es orientable iff $H_n(M) = \mathbb{Z}$, y de lo contrario,$H_n(M) = 0$. Por lo tanto $H_2(\mathbb{RP}^2) = 0$$H_3(\mathbb{RP}^3) = \mathbb{Z}$. Por Künneth de la fórmula y de la conocida descripción de la homología de $S^n$, se deduce que el $H_5(\mathbb{RP}^3 \times S^2) = \mathbb{Z}$ mientras $H_5(S^3 \times \mathbb{RP}^2) = 0$.