Desigualdad en cuatro variables que resumen a 4

Question

Lo números verdaderos positivos $x,y,z,t$ $x+y+z+t=4$ a satisfacer. ¿Es la desigualdad $$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{t}+t\sqrt{x}\leq4$$ true for all $x, y, z, t > 0$?

Answer 1

Puesto dejó a $$x+xy\ge 2x\sqrt y,\cdots$ $ sólo necesitamos mostrar $$xy+yz+zt+tx\le 4.$ $ equivalente necesitamos % $ $$\tag{1}(x+z)(y+t)\le 4.$$x+z=u$, entonces $y+t=4-u$ y (1) se convierte en la obvia $$u(4-u)\le 4.$ $