¿Por qué el primer grupo homológico del toro es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ en lugar de $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ?

Question

Para el toroide de abajo:

Me gustaría calcular $H_1^\Delta(T)$ . Así es como lo hice:

Tenemos $C_1=\Delta_1(T)=\mathbb{Z}$ et $C_2=\Delta_2(T)=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ ¿Estoy en lo cierto? $C_i=\Delta_i(T)$ es siempre un grupo abeliano libre ¿no?

$H_1^\Delta(T)=\frac{\ker\partial_1}{\text{im }\partial_2}=\frac{\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ donde $*$ denota el producto libre.

Pero la solución práctica dada en la página 106 de Hatcher es:

Mi pregunta es:

1. ¿Es correcto lo que hago? ¿Y por qué el primer grupo de homología simplicial del toro es $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ en lugar de $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ?

2. ¿Cuál es la diferencia entre $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ ?

Estoy muy confundido. Agradezco cualquier ayuda y explicación. Gracias.

Answer 1

La notación $*$ denota el producto gratuito de grupos, que, en particular, es una operación sobre grupos, no sólo sobre grupos abelianos. Así que $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ es el grupo libre (no abeliano) sobre dos generadores, no el grupo libre abeliano sobre dos generadores.

No hay diferencia entre $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ significan exactamente lo mismo (o, en algunos contextos, sus definiciones pueden ser diferentes, pero se puede demostrar que son canónicamente isomorfas).

(Sin embargo, hay una diferencia cuando se habla de productos infinitos frente a sumas directas infinitas: $\prod_{i\in I} A_i$ denota el conjunto de todas las tuplas indexadas por el conjunto $I$ donde el $i$ está en $A_i$ para todos $i$ mientras que $\bigoplus_{i\in I}A_i$ denota el subgrupo de $\prod_{i\in I}A_i$ formado por elementos $0$ en todas las coordenadas excepto en un número finito).