Múltiple de puntos fijos

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y deje $G$ ser una Mentira grupo suavemente actuando en $M$.

Entonces, bajo adecuado supuestos (si $G$ actúa libremente y de manera adecuada en $M$) tenemos un nuevo suave colector $M/G$ correspondiente a las órbitas de la acción.

Me gustaría saber si hay un teorema que dice (bajo adecuado de hipótesis) que el conjunto de puntos fijos $M^G$ puede ser equipado con un suave colector de la estructura.

Supongo que no es un teorema, debido a $M^G$ es también el ajuste a cero del generador infinitesimal de la acción, que es un buen vector de campo, por lo que tenemos "suave ecuaciones" de describirlo.

Yo le agradecería cualquier referencia acerca de este tema.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Voy a escribir la acción como morfismos de grupos $$ \begin{array}{ccc} G & \longrightarrow & Diff(M)\\ g & \longmapsto & \psi_g \end{array}. $$ Si $x\in M^G$ tenemos que $d_x\psi_g\in End(T_xM)$, por lo que tenemos un lineal de $G$$T_xM$.

Si $\rho$ $G$- invariantes métricos (existe si tomamos $G$ compact, por ejemplo), en $M$, entonces el mapa exponencial $$\exp^\rho_x:T_xM\rightarrow M$$ is equivariant with respect to the two actions above: $\exp^\rho_x(d_x\psi_g(v))=\psi_g(\exp_x^\rho(v))$.

Recordemos que $\exp_x^\rho$ da un diffeomorphism entre un barrio de $U_0$ $0\in T_xM$ y un barrio de $U_x$$x\in M$. Considere la posibilidad de $U_0^G$ $U_x^G$ los correspondientes conjuntos de puntos fijos con respecto a las acciones anteriores. Desde $\exp^\rho_x$ es equivariant también define un diffeomorphism entre el$U_0^G$$U_x^G$. Finalmente, dado que la acción de $G$ $T_xM$ es lineal, sus puntos fijos forman un subespacio lineal, y, a continuación, $U_0^G$ es un subconjunto abierto de un espacio vectorial.

En resumen, $(\exp_x^\rho)^{-1}:U_x^G\rightarrow U_0^G$ es un gráfico acerca de la $x\in M^G$.