Mostrar una estadística no es suficiente

Question

Dejemos que $T$ sea una estadística suficiente. Supongamos que $f(T)$ no es una función unívoca de $T$ . Mostrar $f(T)$ no es una estadística suficiente.  

Creo que esto debería demostrarse por contradicción. Ya que $f$ no es uno a uno, $\exists t_1 \ne t_2 \ni g(t_1)=g(t_2)$ . He buscado una contradicción en el teorema de la factorización escribiendo $f_\theta(x)=h(x)g_\theta(f^{-1}\circ f(T(X)))$ . Pero, no tuve éxito. Lo intenté a partir de la definición de una estadística suficiente, pero no veo la manera de hacerlo también.

Creo que la prueba se puede hacer sin especificar una distribución para la muestra. Si no es el caso, podemos suponer, que la muestra proviene de una $\operatorname{Bernouilli}(\theta)$ .

Answer 1

La afirmación, tal y como está, no es cierta.

Si, como usted pide, miramos la muestra $\mathbf{X} =(X_1, X_2,\ldots, X_n)$ representando a $n$ i.i.d. $\operatorname{Bernouilli}(\theta)$ variables aleatorias que toman los valores $0$ o $1$ entonces $\mathbf{X}$ es una estadística suficiente para sí misma en el sentido de que $$\Pr(\mathbf{X}=\mathbf{x}\mid \mathbf{X}=\mathbf{x},\theta)=\Pr(\mathbf{X}=\mathbf{x}\mid\mathbf{X}=\mathbf{x})=1$$ pero dejando $f(\mathbf{x}) = \sum x_i$ entonces $f(\mathbf{X})$ es también una estadística suficiente para $\mathbf{X}$ como $$\Pr(\mathbf{X}=\mathbf{x}\mid f(\mathbf{X})=f(\mathbf{x}),\theta)=\Pr(\mathbf{X}=\mathbf{x}\mid f(\mathbf{X})=f(\mathbf{x}))=\frac{1}{n \choose f(\mathbf{x})}.$$

Evidentemente, si $f(\mathbf{X})$ tampoco es siempre $0$ o $n$ entonces $f$ no es inyectiva, es decir, no es una función unívoca.

Tal vez la declaración debería haber sido

Sea T un mínimo estadística suficiente. Suponga que f(T) no es una función uno a uno de T. Demuestre que f(T) no es una estadística suficiente.