Permítanme ampliar la parte resaltada:
$g(y)$ es el polinomio mínimo de $\overline{\alpha}$ en $A/P$ por lo que tiene que dividir el polinomio $\overline{f}(y)=f(y) \,\mathrm{mod}\, P$ ya que $\overline{\alpha}$ es una raíz de $\overline{f}(y)$ (y $\overline{f}(y)$ es distinto de cero, toma $f(y)$ monica). A partir de esto y de la expresión $f(y)=\prod_H(y-\sigma(\alpha))$ se deduce que las raíces de $g(y)$ son sólo algunas de las raíces $\sigma(\alpha)$ tomada en el módulo $M$ El objetivo es identificar cuáles son.
Ahora $\alpha$ se eligió para que $\alpha \in \sigma(M)$ siempre que $\sigma \notin D_{M/P}$ es decir $\sigma(M)\neq M$ . Aplicando $\sigma^{-1}$ tenemos que $\sigma^{-1}(\alpha) \in M$ siempre que $\sigma(M)\neq M$ . Cambiar $\sigma^{-1}$ a $\sigma$ (nota que $\sigma^{-1} \notin D_{M/P}$ si $\sigma \notin D_{M/P}$ ), tenemos que $\sigma(\alpha) \in M $ siempre que $\sigma \notin D_{M/P}$ . Y a la inversa, tenemos $\alpha \notin M$ (porque $\overline{\alpha} \neq 0$ ), por lo que dado cualquier $\sigma \in D_{M/P}$ tenemos que $\sigma(\alpha) \notin \sigma(M)=M$ . Así que en conjunto: $\sigma(\alpha) \,\mathrm{mod}\,M$ es distinto de cero si $\sigma \in D_{M/P}$ . Así que las raíces de $g(y)$ sólo puede provenir de estos, es decir, en la forma $\overline{\sigma}(\overline{\alpha})$ (porque $g(y)$ no puede tener $0$ como raíz, es el polo mínimo de $\overline{\alpha}$ ). Y todos ellos tienen que ser raíces por razones de Galois (todos los mapas $\overline{\sigma}$ son elementos del grupo de Galois del campo de residuos, y $\overline{\alpha}$ es una raíz de $g(y)$ ).
Espero que esto ayude.
