¿Por qué la métrica de un hiperboloide es diferente a la de una esfera?

Question

Me refiero a la esfera unitaria y al hiperboloide unitario en $\mathbb{R}^3$ . Para obtener una métrica se puede utilizar la métrica de Riemann y la longitud de una curva. Para calcular la longitud de una curva $\gamma$ de $a$ a $b$ tenemos $$l_{g}(\gamma) = \int_{a}^{b} \sqrt{g_{\gamma(t)}(\gamma^{'}(t),\gamma^{'}(t))} dt$$ con un producto punto $g$ .

De alguna manera, en el caso esférico este producto punto es inducido por el producto punto estándar de $\mathbb{R}^3 : \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$ mientras que en el caso hiperbólico utilizamos el producto punto de Minkowski del espacio de Minkwoski $\langle x,y\rangle_{\rm Minkowski} = x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$

Aunque la superficie euclidiana, esférica e hiperbólica no comparten ninguna curva, la misma curva $\gamma$ tendría la misma longitud en geometría euclidiana y esférica y una longitud diferente en geometría hiperbólica. Esto hace que seamos especialmente malos a la hora de adivinar las distancias hiperbólicas mientras que estamos bien en el caso esférico.

Pero, ¿por qué es así? No se me ocurre ninguna diferencia entre la superficie hiperbólica y la esférica que justifique los diferentes productos de puntos. Ambas son cuádricas. Una tiene curvatura positiva y la otra negativa. ¿Hay alguna diferencia?

Answer 1

Aquí hay que pensar en el par (superficie, métrica) como objeto geométrico, no sólo de la superficie. El resultado es que los pares (hiperboloide, métrica euclidiana) y (hiperboloide, métrica de Minkowski) son objetos geométricos distintos. La forma de medir longitudes y áreas no es la misma en estos dos "mundos". El primero tiene una curvatura positiva no constante, y el segundo tiene una curvatura negativa constante $-1$ .

La razón es que el hiperboloide desempeña el papel de una esfera con respecto a la métrica de Minkowski, ya que puede escribirse como el conjunto solución de $\langle p,p\rangle_L=-1$ . Compárelo con la ecuación de la esfera $\langle p,p \rangle_E=1$ . Si a estas alturas te estás preguntando si el hiperboloide de una hoja definido por $\langle p,p\rangle_L=1$ tiene algo especial, te diré que sí: tiene una curvatura constante $1$ cuando se equipa con la métrica de Minkowski (la que se expresa correctamente como una esfera).

De hecho, te proponemos un ejercicio para que entiendas lo que ocurre: define $$g((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))= 3x_1x_2+5y_1y_2+2z_1z_2$$ y demostrar que $M=\{(x,y,z)\in \Bbb R^3\mid 3x^2+5y^2+2z^2=1\}$ tiene una curvatura constante cuando está equipado con $g$ .

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Solución para el ejercicio sugerido. Tenga en cuenta que $M = \{ p \in \Bbb R^3\mid g(p,p)=1\}$ . Si $F(p) = g(p,p)$ entonces $M = F^{-1}(1)$ , lo que significa que el $g$ -gradiente de $F$ es siempre $g$ -normal a $M$ . Desde $${\rm d}F_p(v) = 2g(p.v) = g(2p,v),$$ obtenemos ${\rm grad}_gF(p)=2p$ y así $N(p)=p$ es un $g$ -unidad $g$ -vector normal a lo largo de $M$ como para las esferas en el espacio euclidiano. De hecho, $M$ es un $g$ -Esfera. Nótese que la curvatura de la conexión Levi-Civita de $g$ en $\Bbb R^3$ es cero (de hecho, todos los símbolos de Christoffel con respecto a las coordenadas rectangulares habituales son cero, lo que en realidad dice que la conexión Levi-Civita es la habitual). Así, la fórmula de Gauss dice que $$K(v,w) = \frac{g(I\hspace{-.1cm}I(v,v))g(I\hspace{-.1cm}I(w,w)) - g(I\hspace{-.1cm}I(v,w),I\hspace{-.1cm}I(v,w))}{g(v,v)g(v,w)-g(v,w)^2}.$$ De la misma manera que lo hacemos para la esfera, se puede comprobar (o ver, por ejemplo, la página 101 del capítulo 4 de la obra de O'Neill Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad ) que $I\hspace{-.1cm}I_p(v,w) = -g(v,w)N(p)$ . Tomando $(v,w)$ para ser una base ortonormal para el plano tangente $T_pM$ Si se introduce lo anterior, se obtiene lo siguiente $K(p)=1$ como se esperaba.