¿Cuáles son las propiedades de conjuntos infinitos numerable en comparación a los sistemas de mayor cardinalidad?

Question

Cuando se mira en definiciones matemáticas, hay muy pocos casos en los que el límite de ciertas propiedades para countably conjuntos infinitos (por ejemplo, $\sigma$-Álgebras).

En algunos casos podemos establecer este límite, como sería perder nuestra intuición de lo que pasaría si elegimos una aún más grande infinito, en otros casos, hay hechos concretos en el trabajo.

Sin embargo, la única propiedad de countably conjuntos infinitos que viene a mi mente es ... bueno, que son contables, y la mayor cardinalidades no lo son.

Estoy seguro de que a pesar de que hay muchas más de las propiedades características de countably conjuntos infinitos que se pierden al pasar a la superior cardinalidades - entonces, ¿qué son?

Answer 1

Hay un montón de propiedades combinatorias que perder. Por ejemplo:

• $\mathbb{N}$ satisface infinito de Ramsey teorema de pares: si $c:[\mathbb{N}]^2\rightarrow \{0,1\}$ es $2$colorear de pares de números naturales, entonces no es un $c$-conjunto homogéneo $H$ (es decir, $c(\{x,y\})=c(\{x',y'\})$ para todos los $x\not=y, x'\not=y'$ en $H$) del mismo tamaño como $\mathbb{N}$. Esta falla, en general, para innumerables conjuntos: si $X$ es incontable, no puede ser un $2$colorear de pares de elementos de $X$ con ningún tamaño-$X$ conjunto homogéneo. De hecho, esto no funciona para la mayoría de las innumerables cardinalidades en un sentido preciso (ver más abajo), y seguramente falla de $\aleph_1$ (y de hecho cualquier innumerables $\kappa\le 2^{\aleph_0}$), en particular: la fijación de una inyección de $i:\aleph_1\rightarrow\mathbb{R}$, y considerar el colorante $$c:[\aleph_1]^2\rightarrow\{0,1\}: c(\{x,y\}=1\iff (x<_{\aleph_1}y\iff i(x)<_\mathbb{R}i(y)))$$ (with the two different orderings "decorated" for clarity). - it's not hard to show, using the separability (= countable dense subset) of $\mathbb{R}$, that $c$ puede tener un innumerable conjunto homogéneo.

• $\mathbb{N}$ satisface Konig del lema: cualquier infinita de altura, finitely ramificación de los árboles tiene un camino infinito. El "$\kappa$-versión" de esta propiedad, por una arbitraria infinito cardenal $\kappa$, debería ser: "$<\kappa$ramificación de los árboles de la altura de la $\kappa$ tiene un $\kappa$-longitud de la rama," pero esto también se descompone en general para innumerables conjuntos, y, en particular, es de nuevo demostrablemente falsa para $\aleph_1$.

Propiedades combinatorias de $\mathbb{N}$ en general son muy especiales, y a menudo se corresponden con grandes propiedades cardinales cuando se levantó a la multitud de configuración. Por ejemplo, es consistente con ZFC que sólo $\aleph_0$ tiene Ramsey propiedad anterior.