Diagonalize $f(A)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} A $

Question

Tengo que diagonalize el endomorphisme <span class="math-container">$f\in \mathrm{End(M_2}(\mathbb{R}))$</span> por <span class="math-container">$f(A) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \ -1 & 3 \end{pmatrix} A $</span>

Sé puedo volver a escribirlo, si <span class="math-container">$A =\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, as <span class="math-container">$f(A) =\begin{pmatrix} a & b \ 3c-a & 3d-b \end{pmatrix} $</span>,</span>

pero no sé cómo continuar. ¿Me podrias ayudar? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sugerencia: Elija una base para $\mathrm M_2(\mathbb R)$, decir $\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}$. Calcular el $f(E_{ij})$ y escribir en la base. Esto le dará la matriz de $f$ ( $4\times 4$). Proceder a diagonalize como de costumbre.

Puede ayudar si usted piensa de $\mathrm M_2(\mathbb R)\cong \mathbb R^4$. A continuación, $f$ hace $$f(a,b,c,d) = (a,b,3c-a,3d-b).$$

Answer 2

Sugerencia Deje $\lambda$ un autovalor y $A\ne 0$ asociado un vector propio para

$$f(A)=\lambda A\iff \begin{pmatrix}1-\lambda &0\\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}A=0$$

Desde $A\ne0$ lo $\begin{pmatrix}1-\lambda &0\\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}$ no debe ser invertible, por lo tanto $\lambda\in\{1,3\}$. Ahora, para cada valor de $\lambda$ resolver la ecuación de $f(A)=\lambda A$ para $A=\begin{pmatrix}a &b\\ c & d\end{pmatrix}$ encontrar el subespacio propio asociado.