Mostrar$\sup_{x\in[0,1]} | x -f(x)|\geq \frac{1}{2}$ para cualquier$f$ con$f(0)=0$ y$\int^1_0 f(t)dt=0$.

Question

Deje que $f:[0,1]\to \mathbb R$ sea ​​una función continua con $f(0)=0$ y $\int^1_0 f(t)dt=0$ .
Necesito mostrar que $$\sup_{x\in[0,1]} | x -f(x)|\geq \frac{1}{2}$ $
No estoy seguro de cómo abordar este problema. Cualquier consejo es muy apreciado!

Answer 1

Sugerencia: $\displaystyle\int_0^1x-f(x)\,\mathrm dx=\frac12$

Answer 2

Supongamos en cambio que $\lvert x - f(x) \rvert < 1/2$ para todos $x \in [0,1]$ . Luego vemos que $$\frac 1 2 = \left \lvert \int^1_0 (x-f(x)) dx\right \rvert \le \int^1_0 \lvert x - f(x)\rvert dx < \int^1_0 \frac 1 2 dx = \frac 1 2,$$ a contradiction. Thus we must have $ \ lvert x - f (x) \ rvert \ ge 1/2$ for some $ x \ en [0,1] $ y la conclusión que sigue.

A menos que haya cometido un error, parece que la suposición de que $f(0) = 0$ no es necesario.